سوال ۲۸ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۲

استفاده از ریشهٔ غالب معادلهٔ مشخصه

دنباله‌ای متناسب با $\lambda^n$ در نظر بگیرید. رابطهٔ بازگشتی می‌دهد:

دنبالهٔ داده‌شده همان دنبالهٔ فیبوناچی با یک واحد جابه‌جایی اندیس است. مقادیر اولیه فرمول دقیق زیر را می‌دهند:

چون $\lvert\psi/\phi\rvert<1$ است، جملهٔ کاهنده از بین می‌رود و همگرایی اثبات می‌شود، نه اینکه صرفاً فرض شود. نتیجه گزینهٔ ۳ است. برای بررسی، نسبت حدی مثبت باید در $L=1+1/L$ صدق کند؛ هیچ‌یک از سه مقدار دیگر این شرط را ندارد.

نکتهٔ کنکوری: اگر ضریب ریشهٔ دارای بزرگ‌ترین اندازه صفر نباشد، همان ریشه حد نسبت را تعیین می‌کند.