دنباله‌ها و سری‌ها: آزمون‌های همگرایی، سری توانی و سری تیلور

۱. ایدهٔ اصلی — سری چیست و چرا برای مهندس اهمیت دارد

یک دنباله $(a_n)$ تابعی است از $\mathbb{N}\to\mathbb{R}$؛ این دنباله به $L$ همگراست اگر بتوان $|a_n-L|$ را برای همهٔ $n$‌های بزرگ به دلخواه کوچک کرد. یک سری $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ همان حد مجموع‌های جزئی آن است:

پس «جمع کردن بی‌نهایت جمله» همیشه اختصاری برای یک حد است — یک سری دقیقاً وقتی همگراست که دنبالهٔ $(S_N)$ همگرا باشد.

یک سری توانی سری‌ای است که جملاتش شامل یک متغیرند:

یعنی یک «چندجمله‌ای بی‌نهایت» با مرکز $c$. در ناحیهٔ همگرایی‌اش، این سری تابعی واقعی تعریف می‌کند که می‌توان آن را جمله‌به‌جمله مشتق و انتگرال گرفت — و به همین دلیل است که هر مدل غیرخطی در مکانیک سرانجام با یک سری توانی مهار می‌شود: $\sin\theta\approx\theta-\tfrac{\theta^{3}}{6}$ (خطی‌سازی آونگ)، بسط $e^{-E/RT}$، حل سری‌ای معادلات دیفرانسیل (فروبنیوس)، بسط تنش/کرنش حول یک نقطهٔ کار، تحلیل خطای برش در روش‌های تفاضل محدود، و تحلیل فوریه/ارتعاشات. در کنکور این مبحث به سه شکل ظاهر می‌شود: آیا این سری همگراست؟، مجموع دقیق آن چقدر است؟ و شعاع/بازهٔ همگرایی کدام است؟

۲. قضایا و آزمون‌های کلیدی

آزمون واگرایی (جملهٔ $n$‌ام). اگر $a_n\not\to 0$ باشد، آنگاه $\sum a_n$ واگراست. (عکس آن نادرست است: $a_n\to0$ چیزی را ثابت نمی‌کند — سری هارمونیک $\sum \tfrac1n$ واگراست.)

دو خانوادهٔ مرجع.

مقایسه / مقایسهٔ حدی. اگر $0\le a_n\le b_n$ و $\sum b_n$ همگرا باشد، $\sum a_n$ نیز همگراست. برای جمله‌های نهایتاً مثبت، اگر

آنگاه $\sum a_n$ و $\sum b_n$ سرنوشت یکسانی دارند. (یک $a_n$ گویا را با سری‌ $p$ ساخته‌شده از توان‌های پیشروِ آن مقایسه کنید.)

آزمون انتگرال. برای $f$ مثبت، پیوسته و نزولی با $f(n)=a_n$: سری $\sum a_n$ و انتگرال $\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx$ با هم همگرا یا با هم واگرا می‌شوند، و دنباله از رابطهٔ $\int_{N+1}^{\infty}f \le \sum_{n>N}a_n \le \int_{N}^{\infty}f$ پیروی می‌کند.

آزمون‌های نسبت و ریشه. با

اگر حد انتخاب‌شده وجود داشته باشد (با مخرج‌های ناصفر برای نسبت)، سری برای $L<1$ به‌طور مطلق همگرا و برای $L>1$ واگراست، و برای $L=1$ آزمون بی‌نتیجه است.

سری متناوب (لایب‌نیتس). اگر $b_n\downarrow 0$ به‌طور یکنوا باشد، آنگاه $\sum(-1)^{n}b_n$ همگراست و خطای برش با اولین جملهٔ حذف‌شده کران‌دار می‌شود:

همگرایی مطلق در برابر مشروط. $\sum|a_n|<\infty \Rightarrow \sum a_n$ همگراست (همگرایی مطلق). اگر $\sum a_n$ همگرا ولی $\sum |a_n|$ واگرا باشد، همگرایی مشروط است (مثلاً $\sum(-1)^{n+1}/n=\ln 2$) و می‌توان جملات را چنان جابه‌جا کرد که هر مجموع دلخواهی به دست آید (قضیهٔ ریمان).

شعاع و بازهٔ همگرایی. برای $\sum a_n(x-c)^n$ عددی $R\in[0,\infty]$ وجود دارد که سری برای $|x-c|<R$ به‌طور مطلق همگرا و برای $|x-c|>R$ واگراست:

عبارت حد نسبت تنها در صورت وجود آن حد معتبر است؛ کوشی–آدامار همواره معتبر است. بازه عبارت است از $(c-R,\,c+R)$ به‌علاوهٔ هر یک از دو انتها که آزمون خودش را بگذراند؛ داخل بازه نسبت به مرکز متقارن است، هرچند پذیرفته‌شدن دو انتها می‌تواند متفاوت باشد، پس $c=\tfrac{(\text{left end})+(\text{right end})}{2}$ و $R=\tfrac{(\text{right end})-(\text{left end})}{2}$.

حساب دیفرانسیل و انتگرال جمله‌به‌جمله. در ناحیهٔ $|x-c|<R$ می‌توان یک سری توانی را جمله‌به‌جمله مشتق و انتگرال گرفت، با همان $R$:

سری تیلور / مک‌لورن همراه با باقی‌مانده.

چندجمله‌ای متناهی تیلور به‌علاوهٔ $R_N$ به مشتق‌های ذکرشده نیاز دارد؛ برابری با سری نامتناهی نیازمند $R_N\to0$ است. همواری به‌تنهایی آن را تضمین نمی‌کند. بسط‌های استاندارد مک‌لورن که حفظ کردنشان ارزش دارد (آرکتانژانت و دوجمله‌ای به صورت نوشته‌شده برای $|x|<1$ معتبرند):

ترفند $x\frac{d}{dx}$ (مجموع‌های هندسی وزن‌دار). اعمال $x\frac{d}{dx}$ بر یک سری توانی، یک ضریب $n$ را به هر جمله می‌آورد. با شروع از $\sum_{n\ge0}r^n=\frac{1}{1-r}$ برای $|r|<1$ روابط زیر تولید می‌شوند:

۳. روش — چگونه به این مسائل حمله کنیم

(الف) همگرایی یک سری عددی $\sum a_n$

1. بررسی کنید $a_n\to 0$ باشد. اگر نبود، همان‌جا تمام: سری واگراست.
2. شکل سری را تشخیص دهید. اگر کاملاً هندسی یا سری $p$ باشد $\Rightarrow$ پاسخ بی‌درنگ به دست می‌آید.
3. وجود فاکتوریل یا توان‌های $n$‌ام $\Rightarrow$ آزمون نسبت (برای فاکتوریل) یا آزمون ریشه (برای عباراتی مانند $a_n=\left(\tfrac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}$).
4. گویا / جبری بر حسب $n$ $\Rightarrow$ مقایسهٔ حدی با $1/n^{p}$ که در آن $p=\deg(\text{den})-\deg(\text{num})$. توجه کنید که در این حالت هر دو آزمون نسبت و ریشه $L=1$ می‌دهند و بی‌فایده‌اند.
5. متناوب $\Rightarrow$ نخست $\sum|a_n|$ را بیازمایید (همگرایی مطلق؟)؛ اگر واگرا بود، برای همگرایی مشروط از لایب‌نیتس استفاده کنید.
6. مثبت و نزولی با پادمشتق آسان (مثلاً $\tfrac{1}{n\ln n}$) $\Rightarrow$ آزمون انتگرال.

(ب) مجموع دقیق یک سری

1. تلسکوپی کردن را امتحان کنید: $a_n=b_n-b_{n+1}$ بنویسید (تجزیه به کسرهای جزئی این کار را برای جملات گویا انجام می‌دهد)، آنگاه $S=b_1-\lim b_{N+1}$.
2. تلاش کنید سری را به یک خانوادهٔ هندسی تحویل دهید: نسبت $r$ را بیابید، سپس آن را با $\frac{1}{1-r}$ یا یکی از فرزندان $x\frac{d}{dx}$‌ی آن که در بالا آمد تطبیق دهید؛ وزن‌های چندجمله‌ای بر حسب $n$ مانند $n$، $n^{2}$ و $n(n-1)$ به همین شیوه مدیریت می‌شوند.
3. تلاش کنید یک سری تیلور استاندارد ارزیابی‌شده در یک نقطه را تشخیص دهید ($e$، $\ln 2$، $\pi/4$، $\cos 1$، …) با تطبیق فاکتوریل‌ها و علامت‌ها.
4. همیشه پیش از انتخاب گزینه، با ۵ تا ۱۰ مجموع جزئی صحت پاسخ را عددی بسنجید.

(ج) شعاع / بازهٔ همگرایی $\sum a_n(x-c)^n$

1. آزمون نسبت را روی کل جمله یعنی $|a_n(x-c)^n|$ اعمال کنید: شرط $\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\,|x-c|<1$ لازم است، پس $R=1/L$.
2. یک بازهٔ داده‌شده را با استفاده از تقارن نسبت به مرکز به $R$ تبدیل کنید — از میانگین‌گیری آزمون‌های دو انتها خودداری کنید.
3. قواعد مقیاس‌گذاری: جایگزینی $a_n\to c_0^{\,n}a_n$ شعاع را بر $|c_0|$ تقسیم می‌کند؛ جایگزینی $(x-c)$ با $(x-c)^k$ شرط $|x-c|^{k}<R$ را می‌دهد؛ جایگزینی مستقیم $x\to x^k$ شرط $|x^k-c|<R$ را می‌دهد؛ انتقال مرکز هرگز $R$ را تغییر نمی‌دهد.
4. هر انتها را جداگانه بیازمایید: آن را جای‌گذاری کنید و یک آزمون سری معمولی اجرا کنید (معمولاً سری $p$ در برابر سری متناوب). انتهاها همان جایی‌اند که «$[$ یا $($» در پاسخ تعیین می‌شود.

(د) روابط بازگشتی همگن مرتبهٔ دوم با ضرایب ثابت

برای $a_{n+2}=\alpha a_{n+1}+\beta a_n$ با مقادیر اولیهٔ $a_0,a_1$، عبارت $a_n=r^n$ را جای‌گذاری کنید:

1. حل و تطبیق. ریشه‌های متمایز می‌دهند: $a_n=A r_1^n+B r_2^n$؛ دستگاه $A+B=a_0$، $A r_1+B r_2=a_1$ را حل کنید. ریشهٔ مضاعف ناصفر می‌دهد: $a_n=(A+Bn)r^n$، با $A=a_0$، $B=a_1/r-a_0$. اگر $\beta=0$ باشد، $a_{n+2}=\alpha a_{n+1}$ را مستقیماً تکرار کنید؛ ریشهٔ مضاعف صفر، همهٔ جمله‌ها از $a_2$ به بعد را صفر می‌کند.
2. حد نسبت را اثبات کنید. اگر $|r_1|>|r_2|$ و $A\ne0$، قرار دهید $c=B/A$، $t=r_2/r_1$. آنگاه $|t|<1$ و

مخرج به یک میل می‌کند، پس نسبت نهایتاً تعریف‌شده است. برای ریشهٔ مضاعف ناصفر و دنبالهٔ غیرصفر، $a_{n+1}/a_n=r(A+B(n+1))/(A+Bn)\to r$. 3. حالت‌های شکست را بررسی کنید. اگر $A=0$ باشد، ریشهٔ کوچک‌تر حاکم است (مگر اینکه دنباله نهایتاً صفر شود). ریشه‌های رقیب با اندازهٔ برابر ممکن است نوسان یا مخرج صفر ایجاد کنند: $a_n=2+(-1)^n$ نسبت‌هایی متناوب میان $1/3$ و $3$ می‌دهد. ریشه‌های مختلط مزدوج نیز ممکن است نوسان کنند. تقسیم رابطهٔ بازگشتی، $L=\alpha+\beta/L$ را تنها به شرط وجود حد نسبت ناصفر می‌دهد؛ حل این نقطهٔ ثابت، مقادیر نامزد را می‌دهد، نه اثبات همگرایی را.

۴. مثال کوچک حل‌شده (کلی و ساختگی)

بازهٔ همگرایی $\displaystyle g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^{n}}{n\,3^{n}}$ را بیابید و با کمک آن مجموع $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,3^{n}}$ را حساب کنید.

شعاع. با $a_n=\dfrac{1}{n\,3^{n}}$،

پس سری برای $|x-2|<3$، یعنی روی $(-1,5)$، به‌طور مطلق همگراست.

انتهاها. در $x=5$: $\sum \frac{3^{n}}{n\,3^{n}}=\sum\frac1n$ — همان سری هارمونیک، واگرا. در $x=-1$: $\sum\frac{(-3)^{n}}{n\,3^{n}}=\sum\frac{(-1)^{n}}{n}$ — متناوب با $b_n=\tfrac1n\downarrow0$، همگرا (به‌طور مشروط). بازهٔ همگرایی: $[-1,\,5)$.

فرم بسته و مجموع عددی. با قرار دادن $u=\tfrac{x-2}{3}$ داریم $g=\sum_{n\ge1}\frac{u^{n}}{n}=-\ln(1-u)$، یعنی

سری عددی خواسته‌شده همان مقدار در $u=\tfrac13$ (یعنی $x=3$) است:

بررسی: $\tfrac13+\tfrac1{18}+\tfrac1{81}+\tfrac1{324}\approx0.4043$ — در حال نزدیک شدن به $0.405$. ✓

مثال کوچک بازگشتی. فرض کنید $u_{n+2}=4u_{n+1}-3u_n$، $u_0=2$، $u_1=4$. ریشه‌ها $3,1$ هستند؛ تطبیق می‌دهد $A=B=1$، پس $u_n=3^n+1$ و $u_{n+1}/u_n\to3$. با تغییر تنها $u_1$ به $2$، ضریب غالب صفر می‌شود و $u_n=2$ با نسبت $1$ به دست می‌آید. مثال ریشهٔ مضاعف: $v_{n+2}=4v_{n+1}-4v_n$، $v_0=1$، $v_1=4$ می‌دهد $v_n=(1+n)2^n$ و نسبت به $2$ میل می‌کند.

۵. حالت‌های خاص و گونه‌های پرتکرار

• حد دنباله‌ها (نه سری‌ها). یکنوا + کران‌دار $\Rightarrow$ همگرا. برای بازگشتی $a_{n+1}=F(a_n)$، ابتدا یکنوایی/کران‌داری را ثابت کنید، سپس $L=F(L)$ را حل کنید. حدهای پرکاربرد: $n^{1/n}\to1$، $\left(1+\tfrac{a}{n}\right)^{n}\to e^{a}$، $\tfrac{\ln n}{n}\to0$ و $\tfrac{n!}{n^{n}}\to0$؛ ترتیب رشد: $\ln n \ll n^{p} \ll b^{n} \ll n! \ll n^{n}$ برای $p>0$، $b>1$.
• نقاط کور آزمون نسبت. $L=1$ برای هر سری‌ای که جملاتش بر حسب $n$ گویا باشند — به مقایسهٔ حدی سوئیچ کنید. سری‌هایی که $\limsup\ne\liminf$ برای $|a_{n+1}/a_n|$ دارند (ضرایب خلأدار، مثلاً $a_n=0$ برای $n$ فرد) به آزمون ریشه / کوشی–آدامار نیاز دارند.
• سری‌های با توان زوج. برای $\sum a_n x^{2n}$ آزمون نسبت را روی کل جمله اعمال کنید: شرط به $L\,x^{2}<1$ تبدیل می‌شود، پس $R=1/\sqrt{L}$ است، نه $1/L$.
• سری $p$ با تصحیح لگاریتمی. $\sum_{n\ge2}\frac{1}{n(\ln n)^{p}}$ همگراست اگر و تنها اگر $p>1$ (آزمون انتگرال) — مثال مرزی استاندارد.
• ضرب / ترکیب سری‌ها. ضرب کوشی $\left(\sum a_n\right)\left(\sum b_n\right)=\sum_n\left(\sum_{k=0}^{n}a_k b_{n-k}\right)$ در جایی معتبر است که هر دو سری به‌طور مطلق همگرا باشند؛ جای‌گذاری (ساختن $e^{-x^{2}}$ از $e^{u}$) سریع‌ترین راه ساختن بسط‌های جدید است.
• ضرایب تیلور به‌عنوان مشتق. $f^{(N)}(c)=N!\cdot\left[\text{coefficient of }(x-c)^{N}\right]$ — میان‌بُر استاندارد برای یافتن مشتق مرتبه‌بالا که محاسبهٔ مستقیم آن بسیار طاقت‌فرساست.
• سری فوریه نظریهٔ همگرایی متفاوتی دارد: یک سیگنال متناوب تکه‌ای‌هموار نقطه‌به‌نقطه به خود تابع همگرا می‌شود و در نقطهٔ پرش به نقطهٔ میانی $\tfrac12\left(f(t^{-})+f(t^{+})\right)$ — شهود سری توانی را به این حوزه تعمیم ندهید.

تلهٔ رایج: دو دام بیشترین نمره را در این مبحث می‌بلعند. (۱) شرط $a_n\to0$ لازم است، نه کافی — سری هارمونیک هر استدلالی را که همین‌جا متوقف شود از بین می‌برد؛ و آزمون‌های نسبت/ریشه وقتی $L=1$ باشد هیچ حرفی برای گفتن ندارند، و این دقیقاً همان حالت جملات گویاست. (۲) در سری‌های توانی، شعاع فقط از روی ضرایب به دست می‌آید — انتقال مرکز ($x+4\to x-3$) شعاع $R$ را دست‌نخورده می‌گذارد، در حالی که وارد کردن $c_0^{\,n}$ در ضرایب آن را بر $|c_0|$ تقسیم می‌کند — و هر یک از انتهاهای بازه باید جداگانه و دستی آزموده شود، چون $|x-c|=R$ دقیقاً همان جایی است که تمام آزمون‌های به‌کاررفته برای یافتن $R$ ساکت می‌شوند.

نکتهٔ کنکوری: وقتی مجموعی وزن چندجمله‌ای بر حسب $n$ روی یک عامل هندسی دارد، هرگز با مجموع‌های جزئی ور نروید — عملگر $r\frac{d}{dr}$ را روی $\frac{1}{1-r}$ اعمال کنید و فرم‌های بسته را مستقیماً بخوانید: $\sum n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}$ و $\sum n^{2}r^{n}=\frac{r(1+r)}{(1-r)^{3}}$. هر بار اعمال $r\frac{d}{dr}$ یک توان اضافی از $n$ می‌خرد و این عملگر شعاع همگرایی را حفظ می‌کند، پس این اتحاد برای هر $|r|<1$ مجاز است.