KonkurStudy
همه کارت‌ها
قضیهریاضی مهندسیآنالیز مختلط

آنالیز مختلط: توابع تحلیلی و قضیهٔ مانده‌ها

ریشه‌های مختلط، توابع تحلیلی و نگاشت‌های همدیس، فرمول‌های کوشی و مانده‌ها را به کار ببرید؛ سری لوران را در حلقهٔ همگرایی بسازید و مقدار اصلی در قطب حقیقی را از انتگرال ناسرهٔ واگرا تفکیک کنید.

کارت قضیه کنکور ارشد مهندسی مکانیک

اهمیت
۰/۵

ایدهٔ اصلی

آنالیز مختلط توابع f(z)f(z) از یک متغیر مختلط z=x+iyz=x+iy را مطالعه می‌کند. شیء مرکزی، یک تابع تحلیلی (هولومورفیک) است: تابعی که در همسایگی هر نقطه از یک مجموعهٔ باز، مشتق‌پذیر مختلط باشد. تحلیلی‌بودن بسیار قوی‌تر از مشتق‌پذیری حقیقی است — یک مشتق مختلط به‌تنهایی تابع را وادار می‌کند بی‌نهایت‌بار مشتق‌پذیر باشد و با یک سری توانی (تیلور) همگرا نمایش داده شود. این صلبیت باعث می‌شود انتگرال‌های مسیریِ توابع تحلیلی با داده‌های صرفاً جبری (قطب‌ها و مانده‌ها) قابل محاسبه باشند، و این دقیقاً همان چیزی است که مسائل ریاضی مهندسی و کنکور از آن بهره می‌برند.

بنویسید f(z)=u(x,y)+i v(x,y)f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y). آن‌گاه ff روی یک دامنه تحلیلی است اگر و تنها اگر u,vu,v در آنجا مشتقات جزئی پیوسته داشته باشند که در معادلات کوشی-ریمان (CR) صدق کنند:

∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x.\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.

پیامدهای هندسی: uu و vv هارمونیک‌اند (∇2u=∇2v=0\nabla^{2}u=\nabla^{2}v=0)، نگاشت z↦f(z)z\mapsto f(z) در هر جایی که f′(z)≠0f'(z)\neq 0 باشد همدیس (حافظ زاویه) است، و ∣f′∣2|f'|^{2} عامل مقیاس‌بندی مساحت محلی است. اجزای غیرتحلیلی مانند zˉ\bar{z}، ∣z∣|z| یا Re⁡z\operatorname{Re}z معادلات CR را نقض می‌کنند، بنابراین هر انتگرال‌گیرندهٔ حاوی آن‌ها باید ابتدا پیش از به‌کارگیری ماشین‌آلات تحلیلی به تابعی صرفاً از zz کاهش یابد.

قضایای کلیدی

قضیهٔ انتگرال کوشی. اگر ff روی و درون یک مسیر بستهٔ ساده CC تحلیلی باشد، آن‌گاه

∮Cf(z) dz=0.\oint_{C} f(z)\,dz = 0.

فرمول انتگرال کوشی. مسیر CC را پادساعت‌گرد بگیرید. اگر ff روی و درون CC تحلیلی باشد و z0z_{0} درون آن قرار گیرد،

f(z0)=12πi∮Cf(z)z−z0 dz,f(n)(z0)=n!2πi∮Cf(z)(z−z0) n+1 dz.f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\,dz,\qquad f^{(n)}(z_{0})=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{\,n+1}}\,dz.

قضیهٔ مانده‌ها. اگر ff روی و درون CC تحلیلی باشد به‌جز در تکینگی‌های منفرد z1,…,zkz_{1},\dots,z_{k} که توسط CC محصور شده‌اند (یک‌بار در خلاف جهت عقربه‌های ساعت پیموده می‌شود)،

∮Cf(z) dz=2πi∑j=1kRes⁡z=zjf(z).\oint_{C} f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{j=1}^{k}\operatorname{Res}_{z=z_{j}} f(z).

مانده، ضریب (z−zj)−1(z-z_{j})^{-1} در بسط لوران حول zjz_{j} است. در عمل، برای یک قطب ساده،

Res⁡z=z0f=lim⁡z→z0(z−z0) f(z),orRes⁡z=z0g(z)h(z)=g(z0)h′(z0)  (h(z0)=0, h′(z0)≠0),\operatorname{Res}_{z=z_{0}} f = \lim_{z\to z_{0}} (z-z_{0})\,f(z),\qquad \text{or}\quad \operatorname{Res}_{z=z_{0}}\frac{g(z)}{h(z)}=\frac{g(z_{0})}{h'(z_{0})}\ \ (h(z_{0})=0,\ h'(z_{0})\neq 0),

و برای یک قطب از مرتبهٔ mm،

Res⁡z=z0f=1(m−1)!lim⁡z→z0d m−1dz m−1 ⁣[(z−z0)mf(z)].\operatorname{Res}_{z=z_{0}} f = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_{0}}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\!\left[(z-z_{0})^{m} f(z)\right].

حالت خاصِ پرکاربرد عبارت است از ∮C1z−z0 dz=2πi\displaystyle\oint_{C}\frac{1}{z-z_{0}}\,dz = 2\pi i هنگامی که z0z_{0} درون CC باشد، و 00 هنگامی که بیرون آن باشد. پیمایش ساعت‌گرد علامت را معکوس می‌کند؛ قطب روی مسیر به دستور جداگانه‌ای نیاز دارد.

دموآور / ریشه‌ها. با z=r eiθ=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r\,e^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)،

zn=rneinθ,w1/n=∣w∣1/nexp⁡ ⁣(i θ+2πkn),  k=0,1,…,n−1.z^{n}=r^{n}e^{in\theta},\qquad w^{1/n}=|w|^{1/n}\exp\!\left(i\,\frac{\theta+2\pi k}{n}\right),\ \ k=0,1,\dots,n-1.

برای ww ناصفر، این nn ریشه به‌طور مساوی روی دایره‌ای به شعاع ∣w∣1/n|w|^{1/n} توزیع شده‌اند و یک nn-ضلعی منتظم تشکیل می‌دهند. برای مجموعهٔ تصویر ریشه‌ها، خروجی‌های متمایز را بشمارید، نه چندگانگی چندجمله‌ای؛ اختلاف دو خروجی را تجزیه کنید تا شرط یکسان‌شدن آن‌ها مشخص شود.

روش — محاسبهٔ یک انتگرال مسیری

  1. کاهش به تابعی از zz. اگر zˉ,∣z∣,Re⁡z,Im⁡z\bar{z},|z|,\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z ظاهر شوند، از رابطهٔ تعریف‌کنندهٔ مسیر استفاده کنید. روی ∣z∣=R|z|=R داریم zzˉ=R2z\bar{z}=R^{2}، پس zˉ=R2/z\bar{z}=R^{2}/z و ∣z∣=R|z|=R. برای عبارت‌های گویا از این کمیت‌ها، این کار تابعی گویا از zz می‌دهد.
  2. مکان‌یابی تکینگی‌ها (صفرهای مخرج) و تعیین اینکه کدام‌یک درون CC قرار دارند. تنها تکینگی‌های محصورشده سهم دارند.
  3. دسته‌بندی هر تکینگی (قطب ساده، قطب مرتبهٔ mm، اساسی) و محاسبهٔ ماندهٔ آن با فرمول بالا.
  4. جمع‌بندی: ∮Cf dz=2πi∑(enclosed residues)\oint_{C}f\,dz = 2\pi i\sum(\text{enclosed residues}). اجزای تحلیلی (مثلاً z2z^{2}، چندجمله‌ای‌ها، eze^{z}) طبق قضیهٔ کوشی سهم 00 دارند.
  5. بررسی صحت با پارامتری‌سازی مستقیم z=Reiθz=Re^{i\theta}، dz=iReiθ dθdz=iRe^{i\theta}\,d\theta هنگامی که انتگرال‌گیرنده ساده است، زیرا ∫02πeimθ dθ=0\int_{0}^{2\pi} e^{im\theta}\,d\theta = 0 برای هر عدد صحیح ناصفر mm و برابر 2π2\pi برای m=0m=0 است.

مثال کوچک حل‌شده

مقدار I=∮∣z∣=2z+3z2−z dz\displaystyle I=\oint_{|z|=2}\frac{z+3}{z^{2}-z}\,dz را محاسبه کنید (در خلاف جهت عقربه‌های ساعت).

مخرج را تجزیه کنید: z2−z=z(z−1)z^{2}-z=z(z-1)، که قطب‌های ساده در z=0z=0 و z=1z=1 می‌دهد، هر دو درون ∣z∣=2|z|=2. مانده‌ها:

Res⁡z=0z+3z(z−1)=z+3z−1∣z=0=3−1=−3,\operatorname{Res}_{z=0}\frac{z+3}{z(z-1)}=\left.\frac{z+3}{z-1}\right|_{z=0}=\frac{3}{-1}=-3, Res⁡z=1z+3z(z−1)=z+3z∣z=1=41=4.\operatorname{Res}_{z=1}\frac{z+3}{z(z-1)}=\left.\frac{z+3}{z}\right|_{z=1}=\frac{4}{1}=4.

بنابراین

I=2πi (−3+4)=2πi.I=2\pi i\,(-3+4)=2\pi i.

(همین پاسخ از تجزیهٔ کسری جزئی z+3z(z−1)=−3z+4z−1\frac{z+3}{z(z-1)}=\frac{-3}{z}+\frac{4}{z-1} نیز به دست می‌آید، زیرا تنها جملات از نوع 1/z1/z روی یک حلقهٔ بسته باقی می‌مانند.)

سری لوران — پیش از خواندن ضرایب، بسط را بسازید

قرار دهید w=z−z0w=z-z_0. در حلقه‌ای که ff تحلیلی است، نمایش یکتای لوران آن عبارت است از

f(z)=∑n=0∞anwn+∑n=1∞bnw−n,r<∣w∣<R.f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n w^n+\sum_{n=1}^{\infty}b_n w^{-n},\qquad r<\lvert w\rvert<R.

توان‌های نامنفی بخش تحلیلی و توان‌های منفی بخش اصلی را تشکیل می‌دهند. در همسایگی محذوف یک تکینگی منفرد، نبود بخش اصلی به معنی تکینگی رفع‌شدنی است؛ تعداد متناهی توان منفی با بالاترین مرتبهٔ w−mw^{-m}، قطبی از مرتبهٔ mm می‌دهد؛ تعداد نامتناهی به معنی تکینگی اساسی است. در اینجا b1b_1 مانده است. در حلقهٔ بیرونی، ضریب w−1w^{-1} به‌جای آن مجموع همهٔ مانده‌های داخل دایره‌ای در همان حلقه را ثبت می‌کند؛ آن را خودکار با ماندهٔ موضعی در مرکز یکسان نگیرید.

ابتدا حلقه را انتخاب کنید. عوامل مشترک را حذف و تکینگی‌های واقعی تابع ساده‌شده را مشخص کنید. فاصلهٔ آن‌ها از z0z_0 مرز حلقه‌های دایره‌ای بیشینه را تعیین می‌کند. برای دیسک محذوف، شعاع بیرونی فاصله تا نزدیک‌ترین تکینگی دیگرِ حذف‌نشده است؛ صورتِ تمام، مرز متناهی اضافی ایجاد نمی‌کند. صفر مخرجی که حذف شده، پس از ادامهٔ تحلیلی مرز همگرایی نیست. نامساوی‌های اکید را بنویسید؛ سری عموماً نمی‌تواند از مرزی که تکینگی دارد عبور کند.

بسط درونی در برابر بیرونی. برای ثابت ناصفر aa،

1w−a=−1a∑k=0∞(wa)k,∣w∣<∣a∣;1w−a=1w∑k=0∞(aw)k,∣w∣>∣a∣.\frac1{w-a}=-\frac1a\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac wa\right)^k,\quad \lvert w\rvert<\lvert a\rvert;\qquad \frac1{w-a}=\frac1w\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac aw\right)^k,\quad \lvert w\rvert>\lvert a\rvert.

برای چند قطب، بسط مناسب هر عامل را به کار ببرید و سپس اشتراک نواحی همگرایی را بگیرید. تجزیه به کسرهای جزئی اغلب این مرحله را ساده می‌کند. مثلاً قطبی در شعاع 11 و دیگری در شعاع 33، نواحی داخل 11، بین 11 و 33، و خارج 33 را مجاز می‌سازند، به شرط نبود تکینگی دیگر. حلقهٔ میانی به بسط بیرونی برای قطب اول و بسط درونی برای قطب دوم نیاز دارد.

حاصل‌ضرب و جابه‌جایی توان‌ها. اگر عوامل منظم سری‌های ∑pjwj\sum p_jw^j و ∑qkwk\sum q_kw^k داشته باشند، پیش از اعمال هر پیش‌ضریب با توان منفی، آن‌ها را با جمع کانولوشن ضرب کنید:

(∑j=0∞pjwj)(∑k=0∞qkwk)=∑ℓ=0∞dℓwℓ,dℓ=∑j=0ℓpjqℓ−j.\left(\sum_{j=0}^{\infty}p_jw^j\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}q_kw^k\right) =\sum_{\ell=0}^{\infty}d_\ell w^\ell,\qquad d_\ell=\sum_{j=0}^{\ell}p_jq_{\ell-j}.

ضرب در w−mw^{-m}، ضریب dℓd_\ell را به توان wℓ−mw^{\ell-m} می‌برد. برای یافتن ضریب wsw^s، جملات حاصل‌ضرب را تا درجهٔ s+ms+m نگه دارید. این ضرب‌ها در ناحیهٔ مشترک همگرایی معتبرند. برای عوامل اساسی مانند e1/we^{1/w}، توان‌های منفی را حفظ کنید و همهٔ سهم‌های توان خواسته‌شده را جمع بزنید؛ فرمول مشتق برای قطب مرتبهٔ بالا قابل استفاده نیست.

مثال ساختگی استخراج ضریب. تابع f(z)=e2z/[z(z−3)]f(z)=e^{2z}/[z(z-3)] را حول صفر بسط دهید. هیچ‌یک از قطب‌ها حذف نمی‌شود، پس دیسک محذوف بیشینه 0<∣z∣<30<\lvert z\rvert<3 است:

f(z)=−13z(1+2z+2z2+O(z3))(1+z3+z29+O(z3))=−13z−79−2527z+O(z2).f(z)=-\frac1{3z} \left(1+2z+2z^2+O(z^3)\right) \left(1+\frac z3+\frac{z^2}{9}+O(z^3)\right) =-\frac1{3z}-\frac79-\frac{25}{27}z+O(z^2).

بنابراین b1=−1/3b_1=-1/3، a0=−7/9a_0=-7/9، a1=−25/27a_1=-25/27، و همهٔ bnb_nها برای n≥2n\ge2 صفرند. حد مانده به‌طور مستقل می‌دهد lim⁡z→0zf(z)=−1/3\lim_{z\to0}zf(z)=-1/3. جملهٔ ثابت از درجهٔ یک حاصل‌ضرب می‌آید، نه درجهٔ صفر.

برای تابع گویای ساده‌تر 1/[z(z−3)]1/[z(z-3)]، سری درونی با −1/(3z)-1/(3z) آغاز می‌شود، در حالی که سری بیرونی چنین است:

1z(z−3)=∑k=0∞3kz−k−2,∣z∣>3.\frac1{z(z-3)}=\sum_{k=0}^{\infty}3^kz^{-k-2},\qquad \lvert z\rvert>3.

ضریب بیرونیِ z−1z^{-1} صفر است که با صفر بودن مجموع دو ماندهٔ محصور سازگار است. حلقه بخشی از پاسخ است، نه یک برچسب اختیاری.

قطب‌های محور حقیقی — انتگرال معمول در برابر مقدار اصلی

اگر در نزدیکی قطب حقیقی داخلی f(x)=A/(x−c)+g(x)f(x)=A/(x-c)+g(x) باشد، با gg پیوسته و A≠0A\ne0، هر انتگرال ناسرهٔ یک‌طرفه به‌صورت لگاریتمی واگرا می‌شود. انتگرال ناسرهٔ معمول مستلزم وجود جداگانهٔ دو حد یک‌طرفه است؛ نمی‌توان بی‌نهایت‌های با علامت مخالف را جمع کرد. در مقابل، مقدار اصلی متقارن کوشی فاصلهٔ حذف‌شدهٔ یکسانی در دو طرف به کار می‌برد:

PV⁡∫abf(x) dx=lim⁡ϵ→0+[∫ac−ϵf(x) dx+∫c+ϵbf(x) dx],a<c<b.\operatorname{PV}\int_a^b f(x)\,dx= \lim_{\epsilon\to0^+}\left[ \int_a^{c-\epsilon}f(x)\,dx+ \int_{c+\epsilon}^{b}f(x)\,dx\right],\qquad a<c<b.

وقتی دنباله‌های انتگرال در بی‌نهایت همگرا باشند، مقدار اصلی روی کل خط، حدود آن‌ها را به این دستور متقارن موضعی اضافه می‌کند. اگر خود دنباله‌ها نیز به حذف متقارن نیاز دارند، آن دستور اضافی را مشخص کنید؛ اغلب کران‌های بیرونی [−R,R][-R,R] به کار می‌روند.

روش ۱: کم‌کردن بخش قطب ساده. مقدار A=lim⁡x→c(x−c)f(x)A=\lim_{x\to c}(x-c)f(x) را محاسبه و A/(x−c)A/(x-c) را کم کنید. در بازهٔ متناهی، سهم تکین صریح است:

PV⁡∫abAx−c dx=Aln⁡∣b−c∣∣a−c∣.\operatorname{PV}\int_a^b\frac{A}{x-c}\,dx =A\ln\frac{\lvert b-c\rvert}{\lvert a-c\rvert}.

باقی‌مانده در قطب منظم است. روی کل خط، تجزیه به کسرهای جزئی ممکن است جملاتی بسازد که دنباله‌هایشان دیگر جداگانه همگرا نیستند. پیش از رفتن به بی‌نهایت، کران متناهی مشترک را حفظ کنید، جملات را ترکیب کنید یا حد بیرونی متقارنِ تصریح‌شده را بگیرید. جملات فرد زیر کران‌های بیرونی متقارن انتگرال صفر دارند، به شرط اعمال مقدار اصلی موضعی مقرر به قطب‌های حقیقی آن‌ها.

روش ۲: مسیر با فرورفتگی. مسیر را در نیم‌صفحهٔ بالا ببندید و محور حقیقی را از چپ به راست بپیمایید. هر قطب حقیقی ساده را با نیم‌دایرهٔ بالایی z=c+ϵeiθz=c+\epsilon e^{i\theta} از داخل مسیر خارج کنید؛ در آن θ\theta از π\pi تا 00 کاهش می‌یابد. این فرورفتگی ساعت‌گرد است:

lim⁡ϵ→0+∫upper indentationf(z) dz=iA∫π0dθ=−iπA.\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{\mathrm{upper\ indentation}}f(z)\,dz =iA\int_\pi^0d\theta=-i\pi A.

اگر انتگرال کمان بزرگ صفر شود، معادلهٔ مسیر در نتیجه می‌دهد

PV⁡∫−∞∞f(x) dx=2πi∑Im⁡zj>0Res⁡z=zjf+iπ∑cj∈RRes⁡z=cjf.\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_j>0}\operatorname{Res}_{z=z_j}f +i\pi\sum_{c_j\in\mathbb R}\operatorname{Res}_{z=c_j}f.

قطب‌های حقیقی از جمع مانده‌های داخل خارج شده‌اند. فرورفتگی پایینی که از چپ به راست پیموده شود پادساعت‌گرد است و سهم +iπA+i\pi A دارد؛ با بستن در پایین، مسیر بیرونی ساعت‌گرد می‌شود، پس علامت جمع مانده‌های آن نیز عوض می‌شود. علامت‌ها را از جهت پیمایش به دست آورید، نه با حفظ‌کردن «نصف مانده».

افت تابع را بررسی کنید: برای انتگرال‌گیرندهٔ گویا، درجهٔ مخرج دست‌کم دو واحد بیشتر از صورت، انتگرال کمان بزرگ را صفر می‌کند. به‌طور کلی، کران یکنواخت f(z)=O(∣z∣−1−δ)f(z)=O(\lvert z\rvert^{-1-\delta}) با δ>0\delta>0 کافی است. برای R(z)eiazR(z)e^{iaz}، نیم‌صفحهٔ بالا را برای a>0a>0 و پایین را برای a<0a<0 انتخاب کنید، همراه با فرض‌های افت مناسبِ لم جردن؛ R(z)=O(1/z)R(z)=O(1/z) حالت گویای کافی و متداولی است. برای a=0a=0 به برآورد کمان بدون نوسان برگردید. جزوهٔ انتگرال مسیری MIT شرایط کمان کوچک و افت را ارائه می‌کند.

مثال ساختگی مقدار اصلی گویا. برای f(x)=1/[(x−1)(x2+1)]f(x)=1/[(x-1)(x^2+1)]، دنباله‌ها همگرا و قطب حقیقی در 11 ساده است. جبر می‌دهد

f(x)=12(x−1)−x+12(x2+1).f(x)=\frac1{2(x-1)}-\frac{x+1}{2(x^2+1)}.

با کران‌های بیرونی متقارن مشترک، مقدار اصلی جملهٔ قطب به صفر میل می‌کند، جملهٔ فرد صفر می‌شود، و جملهٔ زوج می‌دهد

PV⁡∫−∞∞f(x) dx=−12∫−∞∞dxx2+1=−π2.\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=-\frac12\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^2+1}=-\frac\pi2.

برای بررسی مستقل مسیری، قطب بالایی ماندهٔ (−1+i)/4(-1+i)/4 و قطب حقیقی ماندهٔ 1/21/2 دارد:

2πi−1+i4+iπ12=−π2.2\pi i\frac{-1+i}{4}+i\pi\frac12=-\frac\pi2.

نتیجه حقیقی و با محاسبهٔ کسرهای جزئی سازگار است. انتگرال ناسرهٔ معمول همچنان واگراست. قطب حقیقی دوگانه مانند 1/(x−c)21/(x-c)^2 مقدار اصلی متقارن متناهی ندارد؛ منظم‌سازی با قسمت متناهی تعریف دیگری است.

گونه‌ها و حالات خاص متداول

  • انتگرال‌گیرندهٔ تحلیلی / بدون قطب محصور: انتگرال برابر 00 است (قضیهٔ کوشی) — همیشه این را ابتدا بررسی کنید.
  • فرم فرمول کوشی: ∮Cf(z)(z−z0)n+1 dz=2πin!f(n)(z0)\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}\,dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_{0}) قطب‌های مرتبهٔ بالاتر را هنگامی که صورت تحلیلی است مدیریت می‌کند.
  • انتگرال‌های مثلثاتی حقیقی: ∫02πR(cos⁡θ,sin⁡θ) dθ\int_{0}^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)\,d\theta به یک مسئلهٔ مانده روی ∣z∣=1|z|=1 تبدیل می‌شود؛ با جایگذاری z=eiθz=e^{i\theta}، cos⁡θ=12(z+z−1)\cos\theta=\tfrac12(z+z^{-1})، sin⁡θ=12i(z−z−1)\sin\theta=\tfrac1{2i}(z-z^{-1})، dθ=dzizd\theta=\frac{dz}{iz}.
  • انتگرال‌های ناسره حقیقی: ∫−∞∞\int_{-\infty}^{\infty} از انتگرال‌گیرنده‌های گویا یا R(x)eiaxR(x)e^{iax} با نیم‌دایرهٔ بزرگ و برآورد افت (لم جردن برای حالت نوسانی)؛ در قطب‌های حقیقی، مقدار اصلی را مطابق بالا مشخص کنید.
  • ریشه‌ها / چندضلعی‌های منتظم: جواب‌های zn=wz^{n}=w روی دایرهٔ ∣z∣=∣w∣1/n|z|=|w|^{1/n} قرار می‌گیرند؛ یک شش‌ضلعی منتظم (n=6n=6) ضلعی برابر با شعاع محیطی دارد، پس محیط آن 6∣w∣1/66|w|^{1/6} است.
  • نگاشت‌های همدیس: نگاشت‌های تحلیلی با f′≠0f'\neq 0 زوایا را حفظ می‌کنند. آجرهای مقدماتی — z↦ezz\mapsto e^{z} (نوارهای افقی →\to قطاع‌ها/نیم‌صفحه‌ها)، و نگاشت موبیوس / کیلی z−1z+1\frac{z-1}{z+1} (نیم‌صفحهٔ راست →\to دیسک واحد) — برای ساختن نگاشت‌هایی مانند tan⁡z\tan z ترکیب می‌شوند.

نکتهٔ کنکوری: هنگامی که zˉ\bar{z} یا ∣z∣|z| در یک انتگرال مسیری ظاهر می‌شود، از اینکه انتگرال‌گیرنده غیرتحلیلی است هراسان نشوید — شما فقط روی منحنی انتگرال می‌گیرید. ابتدا رابطهٔ مسیر را جایگذاری کنید (zˉ=R2/z\bar{z}=R^{2}/z، ∣z∣=R|z|=R روی ∣z∣=R|z|=R)؛ برای عبارت‌های گویا، انتگرال‌گیرنده تابعی گویا از zz می‌شود، و آن‌گاه تنها ضریب 1/z1/z (ماندهٔ هر قطب محصورشده) می‌تواند باقی بماند، زیرا ∮zm dz=0\oint z^{m}\,dz=0 برای هر عدد صحیح m≠−1m\neq -1 است.

فرمول‌های کلیدی

Cauchy-Riemann equations
ux=vy,uy=−vxu_{x}=v_{y},\qquad u_{y}=-v_{x}

Necessary-and-sufficient (with continuous partials) condition for f=u+iv to be analytic; forces u,v harmonic.

Cauchy's integral theorem
∮Cf(z) dz=0(f analytic on and inside C)\oint_{C} f(z)\,dz = 0 \quad (f\ \text{analytic on and inside } C)

A closed-contour integral of an analytic function vanishes; kills every analytic (pole-free) piece.

Cauchy integral formula
f(n)(z0)=n!2πi∮Cf(z)(z−z0) n+1 dzf^{(n)}(z_{0})=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{\,n+1}}\,dz

Recovers a value or derivative of an analytic f from a contour enclosing z0; handles higher-order poles with analytic numerator.

Residue theorem
∮Cf(z) dz=2πi∑jRes⁡z=zjf\oint_{C} f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{j}\operatorname{Res}_{z=z_{j}} f

The integral equals 2*pi*i times the sum of residues at the singularities enclosed by C.

Residue at a pole of order m
Res⁡z=z0f=1(m−1)!lim⁡z→z0d m−1dz m−1 ⁣[(z−z0)mf(z)]\operatorname{Res}_{z=z_{0}} f = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_{0}}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\!\left[(z-z_{0})^{m} f(z)\right]

General residue formula; for a simple pole (m=1) it reduces to lim (z-z0) f(z), or g(z0)/h'(z0) for f=g/h.

De Moivre / n-th roots
w1/n=∣w∣1/nexp⁡ ⁣(i θ+2πkn),k=0,…,n−1w^{1/n}=|w|^{1/n}\exp\!\left(i\,\frac{\theta+2\pi k}{n}\right),\quad k=0,\dots,n-1

The n roots lie equally spaced on the circle |z|=|w|^{1/n}, forming a regular n-gon.

Cayley transform (conformal)
T(z)=z−1z+1T(z)=\frac{z-1}{z+1}

Möbius map carrying the right half-plane Re(z)>0 onto the open unit disk |w|<1; building block of maps like w=tan z.

Laurent analytic and principal parts
f(z)=∑n=0∞an(z−z0)n+∑n=1∞bn(z−z0)−nf(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n+\sum_{n=1}^{\infty}b_n(z-z_0)^{-n}
Inside geometric pole expansion
1w−a=−1a∑k=0∞(w/a)k,∣w∣<∣a∣\frac1{w-a}=-\frac1a\sum_{k=0}^{\infty}(w/a)^k,\quad\lvert w\rvert<\lvert a\rvert
Outside geometric pole expansion
1w−a=1w∑k=0∞(a/w)k,∣w∣>∣a∣\frac1{w-a}=\frac1w\sum_{k=0}^{\infty}(a/w)^k,\quad\lvert w\rvert>\lvert a\rvert
Cauchy product coefficients
dℓ=∑j=0ℓpjqℓ−jd_\ell=\sum_{j=0}^{\ell}p_jq_{\ell-j}
Symmetric principal value at an interior real pole
PV⁡∫abf(x) dx=lim⁡ϵ→0+[∫ac−ϵf(x) dx+∫c+ϵbf(x) dx]\operatorname{PV}\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\epsilon\to0^+}\left[\int_a^{c-\epsilon}f(x)\,dx+\int_{c+\epsilon}^b f(x)\,dx\right]
Upper closure with excluded simple real poles and vanishing large arc
PV⁡∫−∞∞f(x) dx=2πi∑Im⁡zj>0Res⁡z=zjf+iπ∑cj∈RRes⁡z=cjf\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_j>0}\operatorname{Res}_{z=z_j}f+i\pi\sum_{c_j\in\mathbb R}\operatorname{Res}_{z=c_j}f
#laurent-series#cauchy-principal-value#residue-theorem#cauchy-riemann#complex-roots#contour-integral#conformal-mapping

کارت‌های مرتبط

مفهومریاضی عمومی ۱ و ۲
دنباله‌ها و سری‌ها: آزمون‌های همگرایی، سری توانی و سری تیلور

همگرایی و مجموع سری‌ها را با اتحادهای هندسی/تیلور بررسی کنید؛ شعاع و انتهاهای بازهٔ سری توانی را بیابید و حد نسبت دنبالهٔ بازگشتی را با ریشه‌های مشخصه و تطبیق مقادیر اولیه اثبات کنید.

sequences-seriescharacteristic-rootsratio-limitconvergence-tests
مفهومریاضی عمومی ۱ و ۲
تکنیک‌ها و کاربردهای انتگرال‌گیری

محاسبهٔ انتگرال با تغییر متغیر، جزء‌به‌جزء و کسرهای جزئی، مشتق‌گیری با قضیهٔ اساسی/لایب‌نیتس، و محاسبهٔ مساحت، حجم دورانی، طول کمان و مساحت رویه در مختصات دکارتی، پارامتری یا قطبی.

integrationsubstitutionintegration-by-partsleibniz-rule
مفهومریاضی مهندسی
سری فوریه و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

حل مسائل فوریه، معادلات با مشتقات جزئی و تبدیل با شاخه‌های رابین، وارون‌سازی کسینوسی، معادلات اویلر وابسته به پارامتر، همگن‌سازی مرز، مدهای صفر و منابع قطبی؛ تمایز میل ضرایب به صفر از کران کاهش برای داده‌های تکه‌ای هموار.

fourier-coefficientsriemann-lebesgueinternal-jumpsrobin-eigenproblem

سوالات تمرینی · 8/19

ریاضی مهندسیمتوسطآنالیز مختلطکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۲۶

محیط شش‌ضلعی که رئوس آن ریشه‌های معادله z^6 = dfrac 1 (3-4i)^12 باشند، کدام است؟

ریاضی مهندسیمتوسطآنالیز مختلطکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۴۴

مقدار ∮_( z =۱)(z/z+( z )/z) dz کدام است؟

ریاضی مهندسیسختآنالیز مختلطکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۴۵

تصویر نوار قائم نامتناهی -(π)/4 < x < (π)/4 تحت نگاشت w = tan(z) ، با فرض z = x+iy ، کدام است؟

ریاضی مهندسیآسانآنالیز مختلطکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — سؤال ۲۶

تعداد جواب‌های معادله مختلط (z)^۲ - z = ۰ ، کدام است؟ ( z مزدوج z است.)

ریاضی مهندسیمتوسطآنالیز مختلطکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — سؤال ۴۵

مقدار ∮_( z =1)cos (z+1/z)dz ، کدام است؟

ریاضی مهندسیمتوسطآنالیز مختلطکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۲۶

اگر z=∑_(n=۱)^۹۹(۱+i)^n ، آنگاه مقدار Re(z) کدام است؟

ریاضی عمومی ۱ و ۲متوسطانتگرال‌گیریکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۴۳

مقدار ∫_۰^۲π(dθ)/(۳-۲cosθ+sinθ) ، کدام است؟

ریاضی مهندسیآسانآنالیز مختلطکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۴۴

مقدار ∮_(lvert zrvert=۲)(cosh(iz))/(z^۲+۴z+۳) dz ، کدام است؟

همهٔ 19 سؤال →