سوال ۲۶ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴

معادله چه می‌گوید

معادله عبارت است از

چون عمل مزدوج‌گیری تحلیلی نیست، این یک معادلهٔ چندجمله‌ای برحسب $z$ نیست — بنابراین واکنش غریزی «درجهٔ ۲ $\Rightarrow$ ۲ ریشه» در اینجا معتبر نیست. دو مسیر تمیز به یک شمارش می‌رسند.

روش ۱ — فرم قطبی (سریع‌ترین)

بنویسید $z = r e^{i\theta}$ که در آن $r \ge 0$. آنگاه $\overline{z} = r e^{-i\theta}$ و

اندازه‌ها: $r^{2} = r \Rightarrow r(r-1) = 0 \Rightarrow r = 0$ یا $r = 1$.

• $r = 0$ به $z = 0$ می‌انجامد که واقعاً در $(\overline{0})^{2} - 0 = 0$ صدق می‌کند. ۱ جواب.
• $r = 1$: با برابر قرار دادن آرگومان‌ها، $-2\theta \equiv \theta \pmod{2\pi}$، یعنی

پس $z = 1,\ e^{2\pi i/3},\ e^{4\pi i/3}$ — همان سه ریشهٔ سوم واحد. ۳ جواب.

در مجموع: $1 + 3 = \boxed{4}$ جواب.

روش ۲ — بررسی در مختصات دکارتی

قرار دهید $z = x + iy$. آنگاه $(\overline{z})^{2} = (x - iy)^{2} = x^{2} - y^{2} - 2ixy$، و رابطهٔ $(\overline{z})^{2} = z$ به دستگاه زیر تجزیه می‌شود

معادلهٔ دوم می‌دهد $y(2x + 1) = 0$.

• حالت $y = 0$: $x^{2} = x \Rightarrow x = 0$ یا $x = 1$، که به $z = 0$ و $z = 1$ می‌رسد.
• حالت $x = -\tfrac{1}{2}$: $\tfrac{1}{4} - y^{2} = -\tfrac{1}{2} \Rightarrow y^{2} = \tfrac{3}{4} \Rightarrow y = \pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}$، که به $z = -\tfrac{1}{2} \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2} i$ می‌رسد.

چهار ریشه عبارت‌اند از

که وجود ۴ جواب را تأیید می‌کند — گزینهٔ ۳.

راستی‌آزمایی سریع

برای $z = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} i = e^{2\pi i/3}$: داریم $\overline{z} = e^{-2\pi i/3}$، پس $(\overline{z})^{2} = e^{-4\pi i/3} = e^{2\pi i/3} = z$. ✓

نکتهٔ کنکوری: اندازه‌گرفتن در گام نخست، کل ترفند است. رابطهٔ $|\overline{z}|=|z|$ معادلهٔ $(\overline{z})^{n} = z$ را به $r^{n} = r$ تبدیل می‌کند که بی‌درنگ $r = 0$ و $r = 1$ را جدا می‌سازد؛ سپس شاخهٔ روی دایرهٔ واحد به $(n+1)\theta \equiv 0$ فرو می‌کاهد، یعنی ریشه‌های $(n+1)$-اُم واحد. بنابراین $(\overline{z})^{n} = z$ در حالت کلی $n + 2$ جواب دارد — اینجا $n = 2$ مقدار $4$ را می‌دهد.

تلهٔ رایج: هرگز به‌صورت کورکورانه طرفین را ساده یا «به توان دو» نکنید تا معادله به $z^{4} = z$ تبدیل شود، و هرگز ریشهٔ بدیهی $z = 0$ را فراموش نکنید — حذف آن به گزینهٔ انحرافی وسوسه‌انگیز ۳ می‌انجامد.