سوال ۲۷ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴

آماده‌سازی — پایه در واقع چیست؟

برای $n\in\mathbb{N}$ـِ ثابت، صورت حاصل‌ضرب $n+1$ عامل خطی است ($x,\;x-1,\;\dots,\;x-n$)، پس چندجمله‌ای از درجهٔ $n+1$ است، در حالی که مخرج درجهٔ $n$ دارد:

$f_n(x)=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)}{x^{n}}=x\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{k}{x}\right)\xrightarrow[x\to+\infty]{}+\infty .$

توان $\tfrac{1}{x}\to 0^{+}$ است، بنابراین $A_n$ به صورت مبهم $\infty^{0}$ درمی‌آید — پس لگاریتم می‌گیریم.

لگاریتم حد.

چون $n$ ثابت است، مجموع تعداد متناهی جمله دارد و هر جمله به $\ln 1=0$ میل می‌کند، و $\dfrac{\ln x}{x}\to 0$. پس

$\ln A_n=0\quad\Longrightarrow\quad A_n=e^{0}=1\qquad\text{for every }n\in\mathbb{N}.$

وارسی با قاعدهٔ هوپیتال (صورت مبهم $\tfrac{\infty}{\infty}$). با نوشتن $\ln f_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\ln(x-k)-n\ln x$ داریم

$\frac{d}{dx}\ln f_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{x-k}-\frac{n}{x}\sim\frac{n+1}{x}-\frac{n}{x}=\frac{1}{x}\to 0,$

و مشتق مخرج برابر $1$ است، پس دوباره $\ln A_n=0$، یعنی $A_n=1$.

حد دوم. دنبالهٔ $(A_n)$ دنبالهٔ ثابت $A_n=1$ است، بنابراین

$\lim_{n\to\infty}A_n=\lim_{n\to\infty}1=1 .$

پس پاسخ گزینهٔ ۱ ($1$) است.

نکتهٔ کنکوری: برای هر تابع گویای $R(x)$ با ضریب جملهٔ پیشرو مثبت، $\lim_{x\to+\infty}R(x)^{1/x}=1$ — رشد چندجمله‌ای در برابر توان $\tfrac{1}{x}$ از بین می‌رود، دقیقاً مانند $x^{1/x}\to 1$. اختلاف درجه ($n+1$ در برابر $n$) در اینجا هیچ اهمیتی ندارد.

تلهٔ رایج: دو حد را با هم جابه‌جا نکنید. ابتدا $n\to\infty$ بردن در داخل کروشه بی‌معناست (برای $x$ ثابت، حاصل‌ضرب حدی ندارد)؛ صورت مسئله $\lim_{n\to\infty}$ از حدهای درونیِ از پیش محاسبه‌شده را می‌خواهد. همچنین توجه کنید که صورت $n+1$ عامل دارد، نه $n$ — اما با این حال پایه فقط به‌صورت خطی بزرگ می‌شود و پاسخ همان $1$ می‌ماند، نه $e$ و نه $+\infty$.