سوال ۳۱ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۱

ساده‌سازی معادله و شمارش مقادیر متمایز

چون $\cos(1401\pi)=-1$ است، قرار دهید $w=z^{1401}$؛ وجود جملهٔ معکوس مستلزم $z\ne0$ است.

روی دایرهٔ واحد ۱۴۰۱ ریشهٔ متمایز وجود دارد. دو ریشه دقیقاً هنگامی مقدار خواسته‌شدهٔ یکسانی می‌دهند که معکوس یکدیگر باشند:

پس هر دسته شامل $z$ و $1/z$ است. تک‌عضوی بودن مستلزم $z^2=1$ است؛ تنها $z=-1$ معادلهٔ ریشه‌ها را ارضا می‌کند. ۱۴۰۰ ریشهٔ دیگر ۷۰۰ جفت می‌سازند.

بنابراین گزینهٔ ۱ درست است. گزینهٔ ۴ ریشه‌ها را به‌جای مقادیر متمایز می‌شمارد، گزینهٔ ۳ تک‌عضوی را حذف می‌کند و گزینهٔ ۲ چندگانگی جبری پس از حذف مخرج را می‌شمارد.

نکتهٔ کنکوری: ریشهٔ تکراری یک چندجمله‌ای، عضو تازه‌ای به مجموعه اضافه نمی‌کند.