سوال ۳۱ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۰

شمارش شاخه‌های لگاریتم

بنویسید $z=x+iy$. برابری اندازه‌ها، $x$ را تعیین می‌کند و برابری آرگومان‌ها یک شاخص صحیح برای شاخه‌ها باقی می‌گذارد:

شرط قرار گرفتن درون دایره برابر است با

برای $k=0$ و $k=-1$، مربع اندازه‌ها به‌ترتیب تقریباً $2.948$ و $22.687$ است؛ هر دو از $25$ کوچک‌ترند. اندازهٔ قسمت موهومی شاخه‌های بعدی دست‌کم $5\pi/2>5$ است، پس تمام شاخه‌های دیگر بیرون دایره قرار دارند.

دو ریشه وجود دارد؛ گزینهٔ ۲ درست است. گزینهٔ ۱ شاخهٔ زاویهٔ منفی را حذف می‌کند و گزینه‌های ۳ و ۴ ریشه‌هایی خارج از شعاع را می‌شمارند. هیچ‌یک از دو ریشه روی مرز نیست.

نکتهٔ کنکوری: تابع نمایی مختلط در راستای موهومی تناوب دارد؛ لگاریتم اصلی به‌تنهایی تمام جواب‌ها را نشان نمی‌دهد.