سوال ۸۶ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵

عضو تلسکوپی (کشویی) — سرعت زاویه‌ای

عضو $AB$ تلسکوپی است: می‌تواند باز و بسته شود، پس نسبت به خود عضو، دو انتهای آن یعنی $A$ و $B$ در امتداد خط $AB$ می‌لغزند. یک عضو تلسکوپی از نظر جهت‌گیری همچنان صلب است، بنابراین یک سرعت زاویه‌ای کاملاً مشخص $\omega_{AB}$ دارد. تنها مؤلفه‌های سرعت عمود بر $AB$ به $\omega_{AB}$ وابسته‌اند؛ مؤلفه‌های در امتداد عضو به اندازهٔ نرخ لغزش (تلسکوپی) با هم اختلاف دارند.

سرعت دو انتها از دو لنگ. هر لنگ با سرعت $\omega = 2\ \mathrm{rad/s}$ حول لولای ثابت خود می‌چرخد، پس سرعت هر انتها عمود بر لنگ خودش است: $v_A = \omega_{OA}\,|OA|\ \ (\perp OA), \qquad v_B = \omega_{CB}\,|CB|\ \ (\perp CB).$

رابطهٔ حاکم. معادلهٔ سرعت نسبی را برای عضو کشویی بنویسید، $\vec v_B = \vec v_A + \vec\omega_{AB}\times\vec r_{B/A} + \dot{s}\,\hat u ,$ که در آن $\hat u$ بردار یکهٔ در امتداد $AB$ و $\dot s$ نرخ باز و بسته شدن (تلسکوپی) است. گرفتن مؤلفهٔ عمود بر $AB$ جملهٔ لغزش $\dot s\,\hat u$ را حذف می‌کند و باقی می‌ماند $\boxed{\ \omega_{AB} = \dfrac{v_{B\perp} - v_{A\perp}}{|AB|}\ }$ که در آن $v_{\perp}$ مؤلفهٔ عرضی (عمود بر خط $AB$) سرعت هر انتها است.

هندسه (mm). قرار دهید $O=(0,0)$ و $C=(150,165)$. لنگ $OA$ در زاویهٔ $60^{\circ}$ و لنگ $CB$ در زاویهٔ $45^{\circ}$ نسبت به افق قرار دارد (هر دو در یک جهت با سرعت $2\ \mathrm{rad/s}$ می‌چرخند). از روی شکل، این امر $A$، $B$، راستای رابط $\hat u$ و طول $|AB|$ را تعیین می‌کند. تصویر کردن $\vec v_A$ و $\vec v_B$ عمود بر $AB$ و جای‌گذاری می‌دهد

$\omega_{AB} = \frac{24}{25}\ \mathrm{rad/s} = 0.96\ \mathrm{rad/s}\quad\text{(counterclockwise).}$

چرا گزینه‌های انحرافی تله هستند. نسبت‌های $\tfrac34$ و $\tfrac43$ همان نسبت‌های خام اضلاع مثلث $3\text{-}4\text{-}5$ هستند که از هندسهٔ رابط ساخته می‌شود (با گرفتن $\tan\theta$ به‌جای ترکیب درست مؤلفه‌های عرضی). ترکیب درست $\tfrac{24}{25} = \sin 2\theta$ را می‌دهد با $\tan\theta = \tfrac34$ — پس گزینهٔ ۱.

تلهٔ رایج: برای یک عضو تلسکوپی نباید مؤلفه‌های سرعت در امتداد عضوِ $A$ و $B$ را برابر بگیرید — این میان‌بر تنها برای یک عضو صلب و با طول ثابت درست است. حرکت لغزشی باعث می‌شود این مؤلفه‌ها متفاوت باشند؛ تنها مؤلفه‌های عمود هستند که $\omega_{AB}$ را تعیین می‌کنند.

پاسخ: گزینهٔ ۱ — $\dfrac{24}{25}\ \mathrm{rad/s}$، خلاف جهت عقربه‌های ساعت.