سینماتیک مکانیزم‌ها: تحلیل سرعت و شتاب

۱. ایدهٔ اصلی: زنجیره‌های مقیدشدهٔ رابط‌های صلب

یک مکانیزم مجموعه‌ای از رابط‌های صلب است که با زوج‌های سینماتیکی (مفصل‌ها) به هم متصل شده‌اند تا یک حرکت ورودی مشخص، یک حرکت خروجی معین تولید کند. سینماتیک تنها می‌پرسد اجزا چگونه حرکت می‌کنند — موقعیت‌ها، سرعت‌ها، شتاب‌ها — مستقل از نیروهای مولد حرکت. این مبنای بادامک‌ها، مکانیزم‌های چهارمیله‌ای و لنگ‌لغزنده، مجموعه‌چرخ‌دنده‌ها، ربات‌ها و مکانیزم‌های بازگشت‌تند است و ورودی سینماتیکی هر تحلیل دینامیکی (نیرو/اینرسی) بعدی به شمار می‌رود.

دو خانوادهٔ مفصل کل واژگان را تعیین می‌کنند:

• زوج‌های پایین — تماس سطحی (لولای پینی، لغزندهٔ منشوری، استوانه‌ای، کروی). یک زوج پایین صفحه‌ای ۲ درجهٔ آزادی حذف می‌کند.
• زوج‌های بالا — تماس خطی/نقطه‌ای (درگیری دندانه، بادامک–پیرو، غلتک روی مسیر). یک زوج بالای صفحه‌ای ۱ درجهٔ آزادی حذف می‌کند و عموماً در محل تماس هم غلتش و هم لغزش دارد.

۲. درجهٔ آزادی (درجات آزادی)

پیش از هر کار روی سرعت، درجهٔ آزادی $F$ را بشمارید — تعداد ورودی‌های مستقل موردنیاز. برای یک مکانیزم صفحه‌ای معیار کوتزباخ (گروبلر) چنین است

که در آن $n$ = تعداد رابط‌ها (قاب ثابت را یک رابط بشمارید)، $j_1$ = تعداد زوج‌های پایین (لولایی یا منشوری) و $j_2$ = تعداد زوج‌های بالا (تماس‌های دندانه/بادامک) است. $F=1$ همان مکانیزم مقید معمول است (یک محرک ⇐ حرکت معین)؛ $F=0$ یک سازه است (بدون حرکت)؛ $F=2$ (مثلاً یک دیفرانسیل که خورشیدی و رینگ هر دو آزادند) به دو ورودی نیاز دارد. مراقب شمارش اضافی باشید: یک پین منفرد که $k$ رابط را به هم می‌پیوندد به‌عنوان $k-1$ زوج لولایی شمرده می‌شود و قیدهای بیکار/اضافی می‌توانند درجهٔ آزادی مؤثر را فراتر از فرمول خام ببرند.

تقاطع را تنها در صورت وجود پین/تماس واقعیِ مشخص‌شده مفصل بشمارید. صفحهٔ مثلثی صلب یک عضو است؛ سه میلهٔ لولاشده در یک مثلث، حتی با شکل نسبی ثابت، سه عضو باقی می‌مانند. پینی که مستقیماً در شیار می‌لغزد یک زوج بالای صفحه‌ای است (یک قید اسکالر)، یا می‌توان آن را با بلوک لغزندهٔ جداگانه و یک زوج دورانی و یک زوج منشوری نمایش داد؛ یک نمایش را به‌طور سازگار به‌کار ببرید. موازی‌بودن ویژه، قیدهای زائد و وضعیت‌های تکین نیازمند بررسی رتبهٔ واقعی قیودند، نه پذیرش بی‌بررسیِ شمارش خام یا منفی درجات آزادی.

۳. روابط کلیدی

سرعت نسبی — دو نقطه از یک رابط صلب یکسان:

جملهٔ دورانی $\perp$ به خط $AB$ با اندازهٔ $\omega\,|\mathbf{r}_{B/A}|$ است.

نمودار ترسیمی سرعت: قطب، بستار و تصویر عضو صلب

یک مقیاس سرعت و یک قطب سرعت صفر $o$ انتخاب کنید. نقاط انتهایی با حروف کوچک $a,b,c$ بردارهای مطلق $\overrightarrow{oa}=\mathbf v_A$، $\overrightarrow{ob}=\mathbf v_B$، $\overrightarrow{oc}=\mathbf v_C$ را نشان می‌دهند. محورهای ثابت در فضای سرعت با $o$ منطبق‌اند، حتی اگر در شکل فیزیکی جدا باشند. بردارهای نسبی، نقاط انتهایی را به هم وصل می‌کنند، نه قطب را:

برای عضو صلب دوتایی، از $a$ خطی عمود بر عضو فیزیکی $AB$ رسم کنید. آن را با راستای مطلق معلوم از $o$ قطع کنید: لغزنده در راستای راهنمای خود حرکت می‌کند و نقطهٔ روی نوسانگر با محور ثابت، عمود بر شعاع خود سرعت دارد. تقاطع، $b$ را تعیین می‌کند؛ پیکان‌ها باید سر به ته بسته شوند. خطوط قید موازی نشان‌دهندهٔ حالت تکین یا اطلاعات ناکافی‌اند، نه تقاطعی یکتا.

عضو صلب سه‌اتصالی $ABC$ یک سرعت زاویه‌ای دارد. $c$ را از تقاطع خط گذرنده از $a$ و عمود بر $AC$ با خط گذرنده از $b$ و عمود بر $BC$ بسازید. مثلث $abc$ تصویر سرعت مثلث فیزیکی است: برای سرعت زاویه‌ای غیرصفر، به‌اندازهٔ $90^\circ$ در جهت دوران چرخیده و به‌نسبت آن سرعت مقیاس شده است؛ مقیاس انتخابی رسم نیز اعمال می‌شود. بنابراین:

تصویر، انتقال مطلق را شامل نمی‌شود؛ انتقال در بردارهای متصل به قطب ظاهر می‌شود. در انتقال خالص، همهٔ نقاط انتهایی یک عضو صلب منطبق می‌شوند و مثلث تصویر با ابعاد غیرصفر وجود ندارد. نقطهٔ مادی مشترک دو عضو لولاشده، یک نقطهٔ انتهایی مشترک دارد. نقاط مادی هم‌مکان پین و شیار روی عضوهای متفاوت، معمولاً نقاط انتهایی جداگانه دارند که بردار نسبی در راستای شیار آن‌ها را متصل می‌کند.

زنجیره‌های متصل و شمارش مثلث‌ها. پس از یافتن نقطهٔ عضو رابط، نقطهٔ انتهایی سرعت آن را مبدأ بردار نسبی بعدی قرار دهید و تا راستای معلوم نوسانگر یا راهنما ادامه دهید. همهٔ بردارهای مطلق لازم را از همان قطب رسم کنید. نمودار کامل می‌تواند مثلث‌های متصل به قطب و مثلث تصویر عضو سه‌اتصالی داشته باشد؛ حلقه‌های اضافی ممکن است از حلقه‌های بسته‌شدهٔ قبلی نتیجه شوند. فقط وقتی خواسته شده، مثلث‌های هندسی را بشمارید. برای حل، مؤلفه‌های مجهول و قیود مستقل را بشمارید: تفریق دو رابطهٔ بستار متصل به قطب، بستار نسبی سوم را می‌دهد؛ بنابراین هر مثلث مرئی، معادلهٔ مستقل تازه‌ای نیست.

مراکز آنی و قضیهٔ سه‌مرکز کندی. $I_{ij}$ نقطه‌ای است که در آن، نقاط مادی منطبقِ عضوهای $i,j$ در همان لحظه سرعت برابر دارند. وقتی $\omega_j-\omega_i\ne0$ باشد، حرکت نسبی دورانی حول این نقطه است. برای هر سه جسم صلب صفحه‌ای، $I_{12}$، $I_{13}$ و $I_{23}$ روی یک خط راست‌اند. قضیه به یک‌درجه‌آزادی‌بودن کل مکانیزم نیاز ندارد. برای یافتن مرکز مجهول، دو خط مستقل از این نوع بیابید؛ $n$ عضو دارای $n(n-1)/2$ مرکز زوجی‌اند.

برای پین $B$ روی عضو ۳ که روی عضو ۲ می‌لغزد، بردار یکهٔ مماس شیار $\mathbf t$ و عمود $\mathbf n$ را با جهت مثبت مشخص انتخاب کنید. قید سرعت و لغزش علامت‌دار برابرند با

پس $BI_{23}$ بر شیار در $B$ عمود است. اگر لولاهای زمین $I_{12}=A$ و $I_{13}=D$ باشند، آن عمود را با $AD$ قطع کنید. برای شیار خمیده، مماس/عمود موضعی را به‌کار ببرید. $\nu$ منفی صرفاً یعنی لغزش خلاف مماس انتخابی. سرعت‌های زاویه‌ای برابر با لغزش ناصفر، مرکز در بی‌نهایت می‌دهند؛ حرکت نسبی صفر در آن لحظه، مرکز یکتا تعریف نمی‌کند. مراکز آنی سرعت را حل می‌کنند، نه شتاب را با فرض ثابت‌ماندن محل مرکز.

شتاب نسبی — همان رابط صلب (صفحه‌ای):

مفصل لغزشی — دو نقطهٔ منطبق روی رابط‌های متفاوت (شکاف دوّار / یراق). فرض کنید $P_3$ نقطهٔ لغزنده و $P_2$ نقطهٔ رابط راهنما باشد که لحظه‌ای زیر آن قرار دارد و $\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\omega}_2$ سرعت زاویه‌ای راهنما باشد. آنگاه

اگر شکاف مستقیم باشد، $\mathbf{a}^{\,n}_{\text{rel}}=0$ است و $\mathbf{a}^{\,t}_{\text{rel}}$ همان شتاب لغزش خالص در امتداد شکاف است. اگر مسیر تماس خمیده با شعاع انحنای $R$ حول مرکز $C$ باشد، حرکت نسبی هر دو بخش را دارد:

اندازهٔ کوریولیس برابر $a^{C}=2\,\Omega\,v_{\text{rel}}$ است و جهت آن معلوم است: $\mathbf{v}_{\text{rel}}$ را به اندازهٔ $90^{\circ}$ در راستای $\boldsymbol{\Omega}$ بچرخانید.

رابط اتصال تلسکوپی (کشیدنی). رابطی که می‌تواند طولش را تغییر دهد یک جهت‌گیری معیّن دارد (پس یک $\omega_{AB}$ یگانه) اما دو سرش در امتداد خط رابط می‌لغزند. تنها مؤلفه‌های سرعت عمود بر رابط به $\omega_{AB}$ گره خورده‌اند؛ مؤلفه‌های در امتداد رابط به اندازهٔ نرخ تلسکوپی‌شدن $\dot{s}$ اختلاف دارند:

مکانیزم معادل (تماس مستقیم / زوج بالا). در یک لحظهٔ معیّن، یک زوج بالا را می‌توان با یک رابط اتصال زوج‌پایین که مراکز انحنای دو سطح در تماس را به هم می‌پیوندد جایگزین کرد. مرکز انحنایی در بی‌نهایت (یک سطح تخت) آن زوج دورانی را به یک لغزنده بدل می‌کند. مکانیزم معادل، موقعیت، $\omega$ و $\alpha$ خروجی را فقط در همان لحظه بازتولید می‌کند — اما رابط ساختگی آن هیچ جرم واقعی حمل نمی‌کند، پس برای تحلیل دینامیکی (نیرو/اینرسی) معتبر نیست.

برگشت سریع: زاویه‌های کورس را از هندسهٔ واقعی استخراج کنید

در سرعت ثابت میل‌لنگ $\Omega$، زمان کورس برابر زاویهٔ پیموده‌شدهٔ میل‌لنگ تقسیم بر سرعت است:

میل‌لنگ ورودی را $OA=a$، فاصلهٔ لولاهای ثابت را $OC=d$ و محور بازوی شیاردار مستقیم را $C$ بگیرید. انتهای حرکت لغزنده را از قید موقعیت آن بیابید؛ حد حرکت بازو و لغزنده در یک اتصال خروجی دلخواه الزاماً منطبق نیستند.

برای بازوی شیاردار دوّار با میل‌لنگ بلند که از طریق میله‌ای بلندتر از طول بازو، لغزندهٔ هم‌خط را حرکت می‌دهد، محور لغزنده را گذرنده از $C$ و $OC$ را عمود بر آن بگیرید. انتهای حرکت لغزنده وقتی است که بازو و میله روی راهنما باشند؛ بنابراین دایرهٔ میل‌لنگ خط گذرنده از $C$ و موازی راهنما را قطع می‌کند. قرار دهید $O=(0,0)$، $C=(0,d)$ و $A=(a\cos\varphi,a\sin\varphi)$؛ آنگاه

فرمول‌های ظاهراً مشابهِ میل‌لنگ کوتاه و بلند، نسبت طول معکوس و ساخت هندسی متفاوت دارند. قاعدهٔ مماس را برای دایره‌ای که $C$ را دربرمی‌گیرد به‌کار نبرید. راهنمای خارج از مرکز، نسبت‌های دیگر میلهٔ رابط یا شاخه‌های خروجی متفاوت، به تعیین دوبارهٔ نقاط انتهایی نیاز دارند؛ در سرعت متغیر میل‌لنگ، به‌جای نسبت زاویه از $t=\int d\varphi/\lvert\Omega(\varphi)\rvert$ استفاده کنید.

۴. روش — چگونه یک مکانیزم را حل کنیم

۱. رسم و شمارش. پیکربندی را به مقیاس ترسیم کنید؛ رابط‌ها، پین‌ها، لغزنده‌ها و تماس‌ها را برچسب بزنید. $F$ را از کوتزباخ محاسبه کنید تا تعداد محرک‌ها را تأیید کنید. ۲. قاب و مختصات را تثبیت کنید. لولاهای زمین را قرار دهید؛ بردار موقعیت هر پین را از یک مبدأ معلوم بنویسید (معادلهٔ بستن حلقه $\sum \mathbf{r}=0$ در صورت بدیهی‌نبودن هندسه، موقعیت‌ها/زوایای مجهول را می‌دهد). ۳. گذر سرعت. از محرک آغاز کنید ($\omega$ معلوم). رابط‌به‌رابط با $\mathbf{v}_B=\mathbf{v}_A+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{B/A}$ پیش بروید؛ در یک پین دو رابط $\mathbf{v}$ مشترک دارند، در یک لغزنده $\mathbf{v}_{\text{rel}}$ را در امتداد شکاف بیفزایید. به مؤلفه‌های $x,y$ تجزیه کنید و دستگاه خطی را برای $\omega$های مجهول و نرخ‌های لغزش حل کنید. (روش مرکز آنی میان‌بری سریع است وقتی تنها سرعت‌ها/$\omega$ مطلوب باشند.) ۴. گذر شتاب. فقط پس از آنکه همهٔ $\omega$ها معلوم شدند. همان حلقه را با معادلهٔ شتاب نسبی دوباره به کار بگیرید؛ همیشه جملهٔ نرمال $\omega^2 r$ را نگه دارید (حتی در $\omega$ ثابت نیز ناصفر است) و جملهٔ کوریولیس $2\Omega v_{\text{rel}}$ را در هر مفصل لغزشی بیفزایید. ۵. استاتیک / گشتاور موردنیاز (یک درجهٔ آزادی)، کار مجازی را با قیود ایدئال و بدون اصطکاک به‌کار ببرید. به‌جای رسم دیاگرام آزاد هر رابط، به محرک یک $\omega$ مجازی بدهید، سرعت هر نقطهٔ بارگذاری‌شده را بیابید و توان کل را برابر صفر قرار دهید: $\ T_{\text{in}}\,\omega_{\text{in}} + \sum \mathbf{F}_i\cdot\mathbf{v}_i = 0.$ باری که $\mathbf{v}$ آن $\perp$ بر خودش باشد کار صفر انجام می‌دهد و بلافاصله حذف می‌شود.

برای زوج‌های اعمال‌شده، توان آن‌ها $\sum M_i\omega_i$ را لحاظ کنید؛ برای اصطکاک یا حرکت شتاب‌دار، جمله‌های اتلاف یا اینرسی را به‌تناسب بیفزایید. عضو فرضیِ مراکز انحنا فقط سینماتیک را فراهم می‌کند، نه جرمی فیزیکی برای این موازنه‌ها. در مسائل زمان‌بندی، ابتدا نقاط انتهایی خروجی را حل و سپس زاویه‌های جهت‌دار ورودی بین آن‌ها را اندازه‌گیری کنید.

۵. مثال کوچک حل‌شده (میل‌لنگ–لغزندهٔ هم‌خط)

لنگ $O_2A$ به طول $r$ با $\omega_2$ ثابت (پادساعت‌گرد) می‌چرخد و یک لغزندهٔ $B$ را از طریق رابط اتصال $AB$ به طول $\ell$ به حرکت درمی‌آورد؛ لغزنده به‌صورت افقی انتقال می‌یابد. با زاویهٔ لنگ $\theta$ که از محور لغزنده اندازه‌گیری می‌شود، حلقه را ببندید: $x_B = r\cos\theta + \ell\cos\phi$, $\ 0 = r\sin\theta - \ell\sin\phi$, پس $\sin\phi = (r/\ell)\sin\theta$.

راهنما از $O_2$ می‌گذرد؛ لغزندهٔ واقعاً خارج از مرکز به واردکردن فاصلهٔ انحراف در حلقهٔ عمودی نیاز دارد. در اینجا $\phi$ شیب رو به پایین و ساعت‌گردِ $AB$ است. برای حفظ این قرارداد حلقهٔ اسکالر، در این مثال $\omega_3=\dot\phi$ و $\alpha_3=\ddot\phi$ را تعریف می‌کنیم؛ سرعت و شتاب زاویه‌ای فیزیکیِ پادساعت‌گرد رابط برابر $-\omega_3$ و $-\alpha_3$ است. در سایر بخش‌ها کمیت‌های زاویه‌ای برداری علامت فیزیکیِ مشخص‌شده را دارند.

سرعت. از قید عمودی مشتق بگیرید: $r\omega_2\cos\theta = \ell\omega_3\cos\phi$، که می‌دهد

شتاب (با $\alpha_2=0$). با مشتق‌گیری دوباره،

در لحظهٔ ویژهٔ $\theta=90^{\circ}$ (لنگ $\perp$ محور) $\cos\theta=0\Rightarrow\omega_3=0$ و رابط اتصال لحظه‌ای انتقال خالص دارد — یک بررسی تمیز که جملهٔ نرمال $\ell\omega_3^2\cos\phi$ آنجا محو می‌شود در حالی که $a_B=-r\omega_2^2\cos\theta-\ell\alpha_3\sin\phi$ همچنان از طریق $\alpha_3$ باقی می‌ماند.

ساخت ابداعی عضو رابط سه‌اتصالی و لغزنده. در یک لحظه، میل‌لنگ از $O=(0,0)$ تا $A=(0.06,0.08)\,\mathrm m$ با $5\,\mathrm{rad/s}$ پادساعت‌گرد می‌چرخد. عضو رابط صلب، نقطهٔ $B=(0.18,0)\,\mathrm m$ را روی راهنمای افقی و نقطهٔ سوم $C=(0.10,0.12)\,\mathrm m$ را دارد. با مثبت‌گرفتن جهت پادساعت‌گرد:

در روش ترسیمی، $oa$ را با مقیاس رسم کنید؛ خط افقی از $o$، خط گذرنده از $a$ و عمود بر $AB$ را در $b$ قطع می‌کند. صفر بودن مؤلفهٔ قائم می‌دهد:

عمود بر $AC$ از $a$ و عمود بر $BC$ از $b$ را قطع کنید تا $c$ به‌دست آید:

بررسی کنید که $\mathbf v_C-\mathbf v_B=(0.30,0.20)\,\mathrm{m/s}$ بر $BC$ با بردار $(-0.08,0.12)\,\mathrm m$ عمود است. اگر $C$ با میلهٔ دیگری نقطهٔ $D$ روی نوسانگر با محور ثابت را حرکت دهد، خط گذرنده از $c$ و عمود بر $CD$ را با خط گذرنده از $o$ و عمود بر شعاع آن نوسانگر قطع کنید. به این ترتیب همان نمودار بدون معرفی قطب جدید ادامه می‌یابد.

بررسی ساختگی پین در شیار. در یک لحظه، شیار عضو ۲ روی محور $x$ از لولای زمینی $A=(0,0)$ می‌گذرد و پین $B=(0.20,0)\,\mathrm m$ روی عضو ۳ است که لولای زمینی آن $D=(0.40,0.20)\,\mathrm m$ است. کندی $I_{23}$ را روی $AD$ قرار می‌دهد و عمود شیار از $B$ دارای $x=0.20\,\mathrm m$ است؛ پس $I_{23}=(0.20,0.10)\,\mathrm m$. اگر عضو ۳ با $1\,\mathrm{rad/s}$ پادساعت‌گرد بچرخد، سرعت پین آن $(0.20,-0.20)\,\mathrm{m/s}$ است. برابری سرعت‌های عمودی ($y$) می‌دهد $\omega_2=-1\,\mathrm{rad/s}$؛ پس لغزش علامت‌دار در راستای $+x$ برابر $\nu=+0.20\,\mathrm{m/s}$ است. سرعت زاویه‌ای نسبی $2\,\mathrm{rad/s}$ و $BI_{23}=0.10\,\mathrm m$ است که $\nu=2(0.10)=0.20\,\mathrm{m/s}$ را با جهت درست تأیید می‌کند.

بررسی زمانی ساختگی. در هندسهٔ هم‌خط با میل‌لنگ بلندِ بالا، $a=10\,\mathrm{cm}$، $d=5\,\mathrm{cm}$ و $\lvert\Omega\rvert=2\pi\,\mathrm{rad/s}$ بگیرید. آنگاه $\beta=30^\circ$ است و پیمایش‌های $240^\circ$ و $120^\circ$، زمان‌های $2/3\,\mathrm s$ و $1/3\,\mathrm s$ و $Q_t=2$ حاصل می‌شوند. مجموع زمان‌ها برابر دورهٔ یک‌ثانیه‌ای میل‌لنگ است. ساخت مماسیِ ناممکن، به‌اشتباه $\arcsin(a/d)=\arcsin2$ را لازم می‌داند.

۶. گونه‌ها و حالت‌های خاص

• مکانیزم چهارمیله‌ای. دو لنگ + رابط اتصال؛ با بستن حلقه یا با دو معادلهٔ سرعت $\mathbf{v}_B=\mathbf{v}_A+\boldsymbol{\omega}_3\times\mathbf{r}_{B/A}=\boldsymbol{\omega}_4\times\mathbf{r}_{B/O_4}$ حل کنید. قاعدهٔ گراشوف، لنگ-اهرمی را از دو-اهرمی متمایز می‌کند.
• یراق دوّار / پین در شکاف. پینی که به یک رابط تثبیت شده در شکاف رابط دیگر می‌لغزد — مسئلهٔ کهن‌الگویی کوریولیس؛ هرگز پین را نقطه‌ای ثابت از رابط شکاف‌دار نپندارید.
• رابط تلسکوپی / کشیدنی. تنها مؤلفه‌های $\perp$ عمود، $\omega$ را می‌دهند؛ مؤلفه‌های در امتداد رابط، تغییر طول را حمل می‌کنند.
• چرخ‌دنده‌های خورشیدی (سیّاره‌ای). درگیری سیّاره–رینگ یک زوج بالا است ($j_2$)؛ زمین‌کردن رینگ $F=1$ می‌دهد، آزادکردن هر دو خورشیدی و رینگ دیفرانسیل $F=2$ را می‌دهد.
• مکانیزم‌های تماس مستقیم / بادامکی. برای سرعت/شتاب با مکانیزم معادل آنی (مراکز انحنا) جایگزین کنید؛ یک پیرو تخت ⇐ رابط اتصال به یک لغزنده تباهیده می‌شود.
• موقعیت‌های ضامنی / نقطهٔ مرگ. در وضعیت ضامنی ایدئال میل‌لنگ–لغزنده، هم‌راستایی می‌تواند سرعت مرتبهٔ اول لغزنده را صفر و مزیت مکانیکی را $\to\infty$ کند. نسبت سرعت معکوس تکین است؛ انعطاف، اصطکاک و کمانش واقعی ظرفیت نگه‌داری بار را محدود می‌کنند. هم‌راستایی در سایر اتصال‌ها به بررسی ژاکوبین قیود نیاز دارد.

تلهٔ رایج: در یک تماس لغزشی دو خطا تقریباً خودکار رخ می‌دهند و هر دو در آزمون جریمه دارند. (i) انداختن جملهٔ کوریولیس $2\,\Omega\,v_{\text{rel}}$ — این جمله هرگاه نقطه‌ای روی عضوی دوّار بلغزد حاضر است و جهت آن کاملاً معیّن است ($\mathbf{v}_{\text{rel}}$ چرخیده به اندازهٔ $90^{\circ}$ در راستای $\Omega$)، هرگز «مجهول» نیست. (ii) اشتباه‌گرفتن مؤلفه‌ها روی مسیر خمیده: $v_{\text{rel}}^{2}/R$ بخش نرمال (مرکزگرا) است که به مرکز انحنا اشاره دارد، در حالی که بخش مماسی برابر $\dot v_{\text{rel}}$ است. و برای یک رابط اتصال تلسکوپی، مؤلفه‌های سرعت در امتداد رابط دو سرش را برابر نگیرید — آن میان‌بر فقط برای یک رابط صلب با طول ثابت برقرار است. پین لغزنده خط مرکز را عمود بر شیار تعیین می‌کند، نه مرکز دورانی را در خود پین. زمان‌بندی برگشت سریع همواره از نقاط انتهایی واقعی خروجی و قانون سرعت ورودی پیروی می‌کند.