سوال ۸۷ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵

در یک ضربهٔ ناگهانی (ایمپالسیو) فقط سرعت‌ها تغییر می‌کنند؛ موقعیت‌ها ثابت می‌مانند و سیستم از حالت سکون آغاز می‌شود. فرض کنید $\omega_1$ سرعت زاویه‌ای میلهٔ بالایی AB (که حول پین ثابت A دوران می‌کند) و $\omega_2$ سرعت زاویه‌ای میلهٔ پایینی BC باشد، هر دو بلافاصله پس از ضربه. ایمپالس افقی برابر $P=\int F\,dt$ است که در فاصلهٔ $d$ بالاتر از انتهای پایینی C اعمال می‌شود — یعنی در فاصلهٔ $(L-d)$ پایین‌تر از پین B. شرط خواسته‌شده $\omega_2=0$ است.

سینماتیک پین B. نقطهٔ B متعلق به میلهٔ بالایی است (که حول A دوران می‌کند)، پس $v_B=L\,\omega_1.$ چون B با میلهٔ پایینی مشترک است و شرط $\omega_2=0$ را اعمال می‌کنیم، میلهٔ پایینی در حال انتقال محض است: هر نقطهٔ آن با $v_B$ حرکت می‌کند. بنابراین مرکز جرم آن $G_2$ (نقطهٔ میانی) دارای $v_{G_2}=v_B=L\,\omega_1.$

میلهٔ پایینی — ایمپالس خطی ($x$). با فرض اینکه $B_x$ ایمپالس افقی منتقل‌شده توسط میلهٔ بالایی در B باشد، $P+B_x=m\,v_{G_2}=mL\,\omega_1.\qquad(1)$

میلهٔ پایینی — ایمپالس زاویه‌ای حول $G_2$ ($I_{G}=\tfrac{1}{12}mL^{2}$). ایمپالس $P$ در $s_F=L-d$ پایین‌تر از B اعمال می‌شود، یعنی با بازوی علامت‌دار $\left(\tfrac{L}{2}-d\right)$ نسبت به $G_2$؛ ایمپالس پین $B_x$ در فاصلهٔ $-\tfrac{L}{2}$ نسبت به $G_2$ اثر می‌کند. با قرار دادن $\omega_2=0$: $P\left(\tfrac{L}{2}-d\right)-B_x\left(\tfrac{L}{2}\right)=I_G\,\omega_2=0.\qquad(2)$

میلهٔ بالایی — ایمپالس زاویه‌ای حول A ($I_A=\tfrac{1}{3}mL^{2}$). بنا بر قانون سوم نیوتن، میلهٔ پایینی میلهٔ بالایی را با $-B_x$ در B هل می‌دهد، در فاصلهٔ $L$ پایین‌تر از A: $-B_x\,L=\tfrac{1}{3}mL^{2}\,\omega_1\;\Rightarrow\;\omega_1=-\frac{3B_x}{mL}.\qquad(3)$

حل. رابطهٔ (3) را در (1) جایگذاری می‌کنیم: $P+B_x=mL\left(-\frac{3B_x}{mL}\right)=-3B_x\;\Rightarrow\;P=-4B_x\;\Rightarrow\;B_x=-\frac{P}{4}.$ آن را در (2) قرار می‌دهیم: $P\left(\tfrac{L}{2}-d\right)-\left(-\tfrac{P}{4}\right)\left(\tfrac{L}{2}\right)=0\;\Rightarrow\;\tfrac{L}{2}-d+\tfrac{L}{8}=0.$ $\boxed{d=\frac{5L}{8}}$

این گزینهٔ ۳ است. (به‌طور معادل، ضربه در $3L/8$ پایین‌تر از B فرود می‌آید.) یک بررسی سریع: اگر $d$ از B اندازه‌گیری می‌شد، همان جبر مقدار $3L/8$ را می‌داد که جزو گزینه‌ها نیست — و این تأیید می‌کند که $d$ از انتهای پایینی C گرفته شده است.

نکتهٔ کنکوری: «سرعت زاویه‌ای صفر برای میلهٔ پایینی» به این معناست که آن میله صرفاً همراه با پین B انتقال می‌یابد، پس $v_{G_2}=v_B=L\omega_1$. آنگاه تنها دو معادلهٔ ایمپالس–تکانه برای میلهٔ پایینی به‌علاوهٔ دوران میلهٔ بالایی حول A مسئله را می‌بندند.