سوال ۶۶ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵

شناسایی مسیر بار

مبدأ را در $A$ قرار می‌دهیم: $A=(0,0)$، $B=(0,L)$، $C=(L,L)$، $D=(L,0)$. میله‌های $AB$، $BC$، $AC$ یک مثلث صُلب می‌سازند که در $A$ به زمین مفصل شده است؛ میلهٔ قائم $CD$ مثلث را در مفصل $D$ به زمین متصل می‌کند. این دو جسم فقط در مفصل $C$ به هم می‌رسند، مفصلی که یک نیرو (دو مؤلفه) منتقل می‌کند اما هیچ گشتاوری منتقل نمی‌کند.

جسم آزاد عضو CD

میلهٔ $CD$ را جدا می‌کنیم. نیروهای وارد بر آن عبارت‌اند از:

• عکس‌العمل مفصل در $D$: مؤلفه‌های $D_x,\; D_y$،
• نیروی اتصال در $C$ از سمت مثلث: مؤلفه‌های مجهول $C_x,\; C_y$ (خط اثر از $C$ می‌گذرد)،
• بار افقی اعمالی $P$ (به سمت $+x$) در نقطهٔ میانی، واقع در $\left(L,\tfrac{L}{2}\right)$،
• بار قائم $P$ در گرهٔ $C=(L,L)$.

گرفتن گشتاور حول C

با جمع گشتاورها حول نقطهٔ $C$، هر دو مؤلفهٔ مجهول اتصال (که از $C$ عبور می‌کنند) و همچنین بار قائم $P$ در $C$ (با بازوی لنگر صفر حول $C$) حذف می‌شوند:

عکس‌العمل $D_x$ در $D$ عمل می‌کند، به فاصلهٔ قائم $L$ پایین‌تر از $C$ (بازوی لنگر $L$)؛ بار افقی $P$ به فاصلهٔ قائم $L/2$ پایین‌تر از $C$ عمل می‌کند (بازوی لنگر $L/2$). با حل کردن:

علامت منفی به این معناست که $D_x$ به سمت چپ اشاره می‌کند، در خلاف جهت بار اعمالی رو به راست، همان‌طور که انتظار می‌رفت. اندازهٔ آن $\boxed{P/2}$ است — گزینهٔ ۲.

بررسی صحت (تعادل افقی کل سازه)

برای کل قاب، $\sum F_x = 0 \Rightarrow A_x + D_x + P = 0$، بنابراین $A_x = -P - D_x = -P/2$. دو عکس‌العمل افقی بار را بین خود تقسیم می‌کنند، که با $|D_x| = P/2$ سازگار است.

نکتهٔ کنکوری: وقتی یک عضو مستقیم دومفصلی یک بار عرضی منفرد را تحمل می‌کند، گشتاور را حول مفصل دور بگیرید — نیروی مفصل رابط و هر باری که در آن مفصل اعمال شده حذف می‌شوند و عکس‌العمل تکیه‌گاه دیگر را در یک خط به دست می‌دهند. نیازی به تحلیل کل قابِ به‌ظاهر نامعین نیست.