KonkurStudy
همه کارت‌ها
مفهوماستاتیکقاب‌ها و ماشین‌ها

تعادل خرپاها، قاب‌ها و دستگاه‌های نیروی فضایی

انتخاب جسم آزاد و مرکز گشتاور برای سازه‌ها و ماشین‌ها؛ تمایز گشتاور کامل نقطه‌ای، گشتاور حول محور جهت‌دار و زوج ناوردای سیستم پیچ‌گشتی‌وار فضایی.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی مکانیک

اهمیت
۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی: تعادل استاتیکی

یک جسم (یا هر بخشی که از یک سازه جدا می‌کنید) در تعادل استاتیکی است هنگامی که برایند نیرو و برایند گشتاور همهٔ کنش‌های خارجی وارد بر آن صفر شود. در صفحه این شرط به سه معادلهٔ اسکالر مستقل فرو‌می‌کاهد:

∑Fx=0,∑Fy=0,∑MO=0\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0, \qquad \sum M_O = 0

که در آن OO هر نقطه‌ای است (انتخاب محور گشتاور آزاد است و اهرم تاکتیکی اصلی محسوب می‌شود). در سه بُعد شش معادله وجود دارد:

∑F=0,∑MO=0.\sum \mathbf{F} = \mathbf{0}, \qquad \sum \mathbf{M}_O = \mathbf{0}.

هر آنچه در استاتیک وجود دارد — عکس‌العمل‌ها، نیروهای داخلی اعضا، مزیت مکانیکی یک ماشین — با نوشتن این معادلات برای یک جسم آزادِ هوشمندانه انتخاب‌شده استخراج می‌شود. کل این موضوع، انضباطِ (الف) جدا‌کردن جسم درست، (ب) رسم هر نیرویی که مرز آن را قطع می‌کند، و (ج) انتخاب مراکز گشتاور به‌گونه‌ای است که مجهول‌های ناخواسته را حذف کند.

دسته‌بندی اعضا نخستین گام است، زیرا روش کار را تعیین می‌کند:

دسته تعریف نتیجه
عضو دو‌نیرویی فقط در دو نقطه بارگذاری‌شده، بدون کوپل نیرو در امتداد خط واصل دو نقطه است (کشش یا فشار خالص)
عضو سه‌نیرویی دقیقاً سه نیروی غیرصفر، بدون زوج مستقل در تعادل، نیروها هم‌صفحه و همرس یا موازی‌اند
عضو چند‌نیرویی در ≥3\ge 3 نقطه بارگذاری‌شده یا دارای یک کوپل راستای اثر نیرو نامعلوم است؛ در هر پین هر دو مؤلفه را نگه دارید
  • یک خرپا کاملاً از اعضای دو‌نیرویی ساخته شده است (میله‌های مستقیمِ پین‌متصل در دو انتها، بارها فقط در گره‌ها اعمال می‌شوند) — همین ویژگی خرپاها را قابل‌حل می‌کند.
  • یک قاب یک سازهٔ صلبِ ثابت است که دست‌کم یک عضو چند‌نیرویی دارد.
  • یک ماشین دارای اجزای متحرک است و برای انتقال یا تغییر نیروها طراحی شده است (انبردست، قرقره، پرس، مکانیزم‌ها).

قاب‌ها و ماشین‌ها به یک شیوه تحلیل می‌شوند — تنها تفاوت در هدف است (یک ماشین اجزای متحرک / یک رابطهٔ نیروی ورودی–خروجی دارد).

۲. روابط کلیدی

معین‌بودن و پایداری. برای خرپای پین‌متصل صفحه‌ای با rr مؤلفهٔ عکس‌العمل، mm میله و jj گره، شرط شمارشیِ یک دستگاه پایدار و معین چنین است:

m+r=2j.m + r = 2j.

این شرط لازم است، کافی نیست: میله‌های هم‌خط، اتصال نامناسب یا تکیه‌گاه‌های وابسته می‌توانند با وجود برابری، مکانیزم ایجاد کنند. اگر m+r<2jm + r < 2j باشد، قیود برای پایداری عمومی کافی نیستند؛ اگر m+r>2jm + r > 2j باشد، مجموعهٔ پایدار مجهول‌های اضافی دارد و به سازگاری تغییرشکل نیاز دارد. مکانیزم و قیود اضافی ممکن است هم‌زمان وجود داشته باشند. هر گرهٔ خرپا دو معادله و هر جسم صلب صفحه‌ای سه معادله دارد. برای یک جسم صلب، r=3r = 3 (صفحه) یا r=6r = 6 (فضا) فقط مجهول‌ها را می‌شمارد؛ دستگاه معادلات تعادل نیز باید رتبهٔ کامل داشته باشد. راستاهای عکس‌العمل صفحه‌ای که همگی موازی یا همرس‌اند، همهٔ حرکت‌ها را مهار نمی‌کنند؛ در فضا دستگاه کامل نیرو–گشتاور را بررسی کنید.

عضو دو‌نیرویی. برای میله‌ای که در AA و BB پین شده و هیچ بار دیگری ندارد، تعادل نیرو ایجاب می‌کند

FA=−FB,both directed along AB‾.\mathbf{F}_A = -\mathbf{F}_B, \qquad \text{both directed along } \overline{AB}.

روش مقاطع (نیروهای داخلی خرپا). حداکثر از سه میله که نیروهایشان مجهول است برش بزنید؛ نیروهای آشکارشدهٔ میله‌ها به‌همراه بارهای خارجی وارد بر آن قطعه در ∑Fx=∑Fy=∑M=0\sum F_x=\sum F_y=\sum M=0 صدق می‌کنند، بنابراین هر‌یک از سه نیروی برش‌خورده از یک معادلهٔ گشتاور واحد حول محل تلاقی دو نیروی دیگر به‌دست می‌آید.

ماشین / مزیت مکانیکی. برای یک ماشین ایده‌آل (بدون اصطکاک، بی‌وزن)، کار مجازی یا تعادل نیرو می‌دهد

MA=FoutFin=δinδout,MA = \frac{F_{\text{out}}}{F_{\text{in}}} = \frac{\delta_{\text{in}}}{\delta_{\text{out}}},

یعنی نیرو با همان ضریبی افزایش می‌یابد که جابه‌جایی بر آن تقسیم می‌شود. برای یک قرقرهٔ بالابر با nn رشته (یک طناب پیوستهٔ واحد، با کشش یکسان TT در همه‌جا)، nn رشته بار WW را نگه می‌دارند:

nT=W    ⇒    T=Wn,MA=n.nT = W \;\;\Rightarrow\;\; T = \frac{W}{n}, \qquad MA = n.

نیروها، گشتاورها و زوج‌های جهت‌دار در فضا

برای نیرویی با اندازهٔ FF از نقطهٔ AA به‌سوی BB، مختصات مقصد منهای مبدأ را حساب کنید، بردار را یکه کنید و سپس در اندازهٔ نیرو ضرب کنید:

u^AB=rB−rA∥rB−rA∥,F=Fu^AB,MO=(rA−rO)×F.\hat{\mathbf u}_{AB}=\frac{\mathbf r_B-\mathbf r_A}{\lVert\mathbf r_B-\mathbf r_A\rVert},\qquad \mathbf F=F\hat{\mathbf u}_{AB},\qquad \mathbf M_O=(\mathbf r_A-\mathbf r_O)\times\mathbf F.

با r=(rx,ry,rz)\mathbf r=(r_x,r_y,r_z) اندازه‌گیری‌شده از OO، فرمول مؤلفه‌ایِ قابل‌محاسبه چنین است:

MO=(ryFz−rzFy)i+(rzFx−rxFz)j+(rxFy−ryFx)k.\mathbf M_O=(r_yF_z-r_zF_y)\mathbf i+(r_zF_x-r_xF_z)\mathbf j+(r_xF_y-r_yF_x)\mathbf k.

گشتاور حول محور جهت‌دار گذرنده از OO، تصویر اسکالر علامت‌دار است، نه اندازهٔ بردار گشتاور:

Mℓ=u^ℓ⋅MO.M_{\ell}=\hat{\mathbf u}_{\ell}\cdot\mathbf M_O.

با معکوس‌کردن محور، علامت عوض می‌شود. هر نقطه روی محور، گشتاور محوری یکسان می‌دهد. هر نقطه روی خط اثر نیرو نیز گشتاور یکسانی حول OO می‌دهد؛ این همان اصل انتقال‌پذیری نیرو برای جسم صلب است.

یک زوج از دو نیروی مساوی و مخالف روی خطوط جدا تشکیل می‌شود؛ برایند نیرو صفر است و گشتاور آن برداری آزاد و مستقل از نقطهٔ مرجع است. هر زوج را مستقیماً به تعادل گشتاور اضافه کنید. انتقال نیرو از AA به نقطهٔ دلخواه CC به همان نیرو در CC به‌علاوهٔ زوج زیر نیاز دارد:

MCadd=(rA−rC)×F,∑MO=∑(ri−rO)×Fi+∑Micouple=0.\mathbf M_C^{\mathrm{add}}=(\mathbf r_A-\mathbf r_C)\times\mathbf F,\qquad \sum\mathbf M_O=\sum(\mathbf r_i-\mathbf r_O)\times\mathbf F_i+\sum\mathbf M_i^{\mathrm{couple}}=\mathbf0.

فقط انتقال روی خط اثر خود نیرو به زوج اضافی نیاز ندارد. این هم‌ارزی، تعادل خارجی جسم صلب را حفظ می‌کند، نه تنش‌های موضعی را.

کاهش به سیستم پیچ‌گشتی‌وار و محور مرکزی

برای همهٔ نیروها و زوج‌های آزاد اعمال‌شده، ابتدا دستگاه را در OO کاهش دهید:

R=∑iFi,MO=∑i(ri−rO)×Fi+∑iCi.\mathbf R=\sum_i\mathbf F_i,\qquad \mathbf M_O=\sum_i(\mathbf r_i-\mathbf r_O)\times\mathbf F_i+\sum_i\mathbf C_i.

وقتی R≠0\mathbf R\ne\mathbf0، گشتاور کامل حول نقطه را به بخش‌های موازی و عمود تجزیه کنید:

h=MO⋅RR⋅R,M∥=hR,M⊥=MO−hR.h=\frac{\mathbf M_O\cdot\mathbf R}{\mathbf R\cdot\mathbf R},\qquad \mathbf M_{\parallel}=h\mathbf R,\qquad \mathbf M_{\perp}=\mathbf M_O-h\mathbf R.

در اینجا hh گام پیچ‌گشتی‌وار علامت‌دار با واحد طول است. جابه‌جایی نقطهٔ مرجع به اندازهٔ r\mathbf r گشتاور را به MA=MO−r×R\mathbf M_A=\mathbf M_O-\mathbf r\times\mathbf R تغییر می‌دهد. ضرب داخلی آن در R\mathbf R ثابت می‌ماند؛ پس زوج موازی با انتقال نیرو حذف نمی‌شود. انتخاب کنید:

r0=R×MOR⋅R,r0×R=M⊥,MA=M∥.\mathbf r_0=\frac{\mathbf R\times\mathbf M_O}{\mathbf R\cdot\mathbf R},\qquad \mathbf r_0\times\mathbf R=\mathbf M_{\perp},\qquad \mathbf M_A=\mathbf M_{\parallel}.

محور مرکزی برابر r=r0+su^R\mathbf r=\mathbf r_0+s\hat{\mathbf u}_R است؛ مکان‌ها از OO اندازه‌گیری می‌شوند و ss فاصله است. روی آن نیرو و زوج باقی‌مانده موازی‌اند: سیستم پیچ‌گشتی‌وار. اگر h=0h=0، دستگاه هم‌ارز یک نیروی منفرد روی آن محور است. اگر R=0\mathbf R=\mathbf0، بر مربع بزرگی آن تقسیم نکنید: MO\mathbf M_O غیرصفر یک زوج خالص مستقل از نقطه است؛ صفر بودن گشتاور نیز دستگاهی با برایند صفر می‌دهد.

کمیت خواسته‌شده محاسبهٔ لازم
گشتاور کامل حول نقطه MO\mathbf M_O با احتساب همهٔ زوج‌های اعمال‌شده
گشتاور حول محور جهت‌دار گذرنده از آن نقطه اسکالر u^ℓ⋅MO\hat{\mathbf u}_{\ell}\cdot\mathbf M_O
زوج پیچ‌گشتی‌وار بردار M∥\mathbf M_{\parallel} موازی برایند

تصویر بر محوری دلخواه همان زوج پیچ‌گشتی‌وار نیست؛ جهت آن باید جهت برایند باشد.

۳. روش: چگونه حل کنیم

  1. دیاگرام جسم آزاد (FBD) کلی را رسم کنید. هر تکیه‌گاه را با مؤلفه‌های عکس‌العملش جایگزین کنید. مجهول‌ها و معادلات را بشمارید (r=3r=3 صفحه‌ای)، سپس هندسه و استقلال معادلات را بررسی کنید.
  2. اگر می‌توانید، تعادل کلی را حل کنید. سه معادلهٔ ∑Fx,∑Fy,∑M\sum F_x,\sum F_y,\sum M تا سه عکس‌العمل مجهول می‌دهند. مرکز گشتاور را در محل تلاقی دو راستای عکس‌العمل مجهول انتخاب کنید تا یک معادله مستقیماً یک مجهول بدهد.
  3. اگر تحلیل کلی کافی نیست (مثلاً دو تکیه‌گاه پینی چهار مؤلفهٔ عکس‌العمل می‌دهند، یا به یک نیروی داخلی/رابط نیاز دارید)، تجزیه کنید: سازه را در پین‌های رابطش برش بزنید و برای هر بخش FBD جداگانه رسم کنید.
    • روی یک عضو دو‌نیرویی، یک مجهول واحد در امتداد محور عضو رسم کنید.
    • روی یک عضو چند‌نیرویی، در هر پین هر دو مؤلفه (Cx,CyC_x, C_y) را رسم کنید؛ قانون سوم نیوتن آن‌ها را روی قطعهٔ متصل مساوی و در جهت مخالف می‌کند.
  4. برای هر بخش تعادل بنویسید و مراکز گشتاور را برای حذف مجهول‌ها انتخاب کنید. گرفتن گشتاور حول یک پین رابط، نیروی (مجهول) آن پین و هر باری را که در آن پین اعمال شده حذف می‌کند.
  5. حل کنید، سپس جای‌گذاری معکوس کنید و با یک معادلهٔ کلی که استفاده نکرده‌اید، درستی را بررسی کنید.

به‌طور خاص برای خرپاها: هنگامی که می‌خواهید همهٔ نیروهای میله را به‌دست آورید از روش گره‌ها استفاده کنید (هر پین یک دستگاه نیروی همرس است: ∑Fx=∑Fy=0\sum F_x=\sum F_y=0، دو مجهول در هر گره)، و هنگامی که تنها چند میلهٔ داخلی را می‌خواهید از روش مقاطع استفاده کنید.

روی نمودار جسم آزاد کل دستگاه، نیروهای داخلی مساوی، مخالف و هم‌خط هم در تعادل نیرو و هم در تعادل گشتاور حذف می‌شوند. روی عضو جداشده آن‌ها را نگه دارید. تماس شیار صاف عمود بر شیار است؛ نیروهای شعاعی از گشتاور حول مرکز مشترک حذف می‌شوند. تقارن می‌تواند بازوهای گشتاور را برابر کند، بدون برابر کردن مؤلفه‌های نیرو.

در مسائل فضایی ابتدا مختصات نقاط و جهت محور را ثبت کنید؛ بردار یکهٔ هر نیرو را بسازید، ضرب برداری مکان در نیرو را بگیرید، زوج‌ها را اضافه کنید و فقط پس از تعیین بردار کامل گشتاور، تصویر محوری را حساب کنید. واحد نیرو و گشتاور را جداگانه بررسی کنید.

۴. مثال کوچک حل‌شده (ابداعی)

یک براکت افقی ABCABC در نقطهٔ AA به دیوار پین شده و توسط یک مهار دو‌نیرویی BDBD که از BB به سمت بالا تا پین دیوار DD با زاویهٔ 45∘45^\circ امتداد دارد پشتیبانی می‌شود. یک بار قائم QQ از نوک آزاد CC آویزان است. فرض کنید AB=aAB = a و BC=aBC = a (پس CC به فاصلهٔ 2a2a از دیوار است)، و مهار در BB به براکت می‌رسد.

چون BDBD یک عضو دو‌نیرویی است، نیرویش در امتداد BDBD اثر می‌کند — با زاویهٔ 45∘45^\circ، بنابراین مؤلفه‌های افقی و قائم آن برابرند، هر‌کدام S/2S/\sqrt2. براکت ABCABC را به‌عنوان جسم آزاد در نظر بگیرید (عکس‌العمل‌های Ax,AyA_x, A_y در پین، مؤلفه‌های نیروی مهار در BB، بار QQ رو‌به‌پایین در CC). حول AA گشتاور بگیرید تا Ax,AyA_x, A_y حذف شوند:

∑MA=0:S2 (a)  −  Q (2a)=0    ⇒    S=22 Q.\sum M_A = 0: \quad \frac{S}{\sqrt2}\,(a) \;-\; Q\,(2a) = 0 \;\;\Rightarrow\;\; S = 2\sqrt2\,Q .

مؤلفهٔ افقی حول AA گشتاور ندارد، زیرا AA و BB هم‌ارتفاع‌اند و خط اثر آن از AA می‌گذرد. فقط مؤلفهٔ قائم بازوی aa دارد. مهار به بالا و چپ می‌کشد، پس کششی است. سپس

∑Fx=0:  Ax=S2=2Q,∑Fy=0:  Ay=Q−S2=Q−2Q=−Q,\sum F_x=0:\; A_x = \tfrac{S}{\sqrt2} = 2Q, \qquad \sum F_y=0:\; A_y = Q - \tfrac{S}{\sqrt2} = Q - 2Q = -Q,

بنابراین پین دیوار با Ax=2QA_x = 2Q (به‌سمت بیرون) و Ay=QA_y = Q رو‌به‌پایین از نظر اندازه فشار می‌آورد. درس این مثال: تشخیص BDBD به‌عنوان یک عضو دو‌نیرویی، دو مجهول در BB را به یک مجهول کاهش داد، و انتخاب گشتاور‌گیری‌حول‌AA آن را در یک خط تحویل داد.

مثال کوچک فضایی (ابداعی)

کابلی با نیروی 100 N100\,\mathrm N در A=(1,0,0) mA=(1,0,0)\,\mathrm m به‌سوی B=(1,3,4) mB=(1,3,4)\,\mathrm m می‌کشد. حول مبدأ داریم:

u^AB=(0,3/5,4/5),F=(0,60,80) N,MO=(0,−80,60) N m,Mz=60 N m.\hat{\mathbf u}_{AB}=(0,3/5,4/5),\quad \mathbf F=(0,60,80)\,\mathrm N,\quad \mathbf M_O=(0,-80,60)\,\mathrm{N\,m},\quad M_z=60\,\mathrm{N\,m}.

گشتاور بر بردار مکان و نیرو عمود است. انتقال نیرو به مبدأ به همین زوج اضافی نیاز دارد؛ حذف آن به‌اشتباه گشتاور را از بین می‌برد.

بررسی سیستم پیچ‌گشتی‌وار (ابداعی)

فرض کنید کاهش دستگاه بدهد R=(0,0,80) N\mathbf R=(0,0,80)\,\mathrm N و MO=(16,−24,8) N m\mathbf M_O=(16,-24,8)\,\mathrm{N\,m}. آنگاه

h=0.10 m,M∥=(0,0,8) N m,r0=(0.30,0.20,0) m.h=0.10\,\mathrm m,\quad \mathbf M_{\parallel}=(0,0,8)\,\mathrm{N\,m},\quad \mathbf r_0=(0.30,0.20,0)\,\mathrm m.

در واقع r0×R=(16,−24,0) N m\mathbf r_0\times\mathbf R=(16,-24,0)\,\mathrm{N\,m} فقط گشتاور عمود را حذف می‌کند. زوج باقی‌مانده ناورداست و محور مرکزی قائم است.

۵. حالت‌های خاص و گونه‌ها

  • دو تکیه‌گاه پینی (۴ مؤلفهٔ عکس‌العمل، ۳ معادلهٔ کلی). سازه به‌طور کلی به‌نظر نامعین می‌رسد اما اگر اتصال معادلات مستقل اضافه کند، ممکن است پس از تجزیه قابل‌حل شود: در پین رابط برش بزنید و یک عضو را به‌تنهایی تحلیل کنید. گرفتن گشتاور حول پین رابط، عکس‌العمل تکیه‌گاه دور را بی‌درنگ جدا می‌کند.
  • اعضای بی‌نیرو در خرپاها: در یک گرهِ بدون بار با دو میلهٔ ناهم‌خط، هر دو صفرند؛ در یک گرهِ بدون بار با سه میله که دوتای آن‌ها هم‌خط‌اند، میلهٔ فرد صفر است. این‌ها را ابتدا شناسایی کنید تا مسئله کوچک شود.
  • قرقره‌ها و سیستم‌های کابلی ماشین هستند: یک طناب بدون اصطکاک ⇐ یک کشش در سرتاسر؛ رشته‌هایی را که از جسم آزاد متحرک خارج می‌شوند بشمارید تا nT=WnT=W به‌دست آید. یک قرقرهٔ متحرک نیرو را دو برابر می‌کند (سرعت را نصف می‌کند)؛ یک قرقرهٔ ثابت تنها آن را تغییر جهت می‌دهد.
  • کابل‌ها تحت وزن خودشان (یک «سازهٔ» حدی): مؤلفهٔ افقی کشش HH ثابت است؛ در هر نقطه T=H2+(ws)2T=\sqrt{H^2+(w s)^2} که در آن ww وزن یکنواخت بر واحد طول کابل و ss طول قوس از پایین‌ترین نقطه (نقطهٔ مماس افقی) است، بنابراین کشش در بالاترین تکیه‌گاه بیشینه و در پایین کمینه است.
  • اعضای سه‌نیرویی بدون زوج مستقل و با نیروهای ناموازی: از همرسی نیرو بهره ببرید — نقطه‌ای را بیابید که دو راستای نیروی معلوم در آن متلاقی می‌شوند؛ نیروی سوم باید از آن نقطه بگذرد، که جهتش را پیش از نوشتن هر معادله به‌طور هندسی تثبیت می‌کند.
  • اهرم‌ها، ضامن‌ها و مکانیزم‌ها (ماشین‌ها): هنگامی که یک درجهٔ آزادی واحد، هندسهٔ‌حرکت را از تعادل نیرو ساده‌تر می‌کند، از کار مجازی ∑F δ=0\sum F\,\delta = 0 استفاده کنید.

نکتهٔ کنکوری: با بیش از سه مؤلفهٔ مجهول مستقل عکس‌العمل (مثلاً دو پین)، سه معادلهٔ کلی صفحه‌ای به‌تنهایی کافی نیست — با کل سازه نجنگید. آن را در پین رابط برش بزنید و روی یک قطعه گشتاور را حول همان پین بگیرید: نیروی مجهول پین رابط و هر باری که در پین اعمال شده هر دو بازوی گشتاور صفر دارند و حذف می‌شوند، و عکس‌العمل موردنظر را در یک معادلهٔ واحد به شما می‌دهند. به‌همین‌ترتیب، همیشه هر میلهٔ مستقیم را پیش از نسبت‌دادن دو مؤلفهٔ نیرو، از نظر شرط دو‌نیرویی‌بودن بیازمایید — میله‌ای که فقط در دو انتهایش بارگذاری شده نیرو را صرفاً در امتداد محورش تحمل می‌کند و دو مجهول را به یک مجهول فرو‌می‌کاهد.

فرمول‌های کلیدی

Planar equilibrium
∑Fx=0,∑Fy=0,∑MO=0\sum F_x = 0,\quad \sum F_y = 0,\quad \sum M_O = 0
Spatial equilibrium
∑F=0,∑MO=0\sum \mathbf{F} = \mathbf{0},\quad \sum \mathbf{M}_O = \mathbf{0}
Truss determinacy
m+r=2jm + r = 2j
Two-force member
FA=−FB (along AB‾)\mathbf{F}_A = -\mathbf{F}_B \ \text{(along } \overline{AB})
Mechanical advantage (ideal machine)
MA=FoutFin=δinδoutMA = \frac{F_{\text{out}}}{F_{\text{in}}} = \frac{\delta_{\text{in}}}{\delta_{\text{out}}}
n-strand pulley hoist
nT=W ⇒ T=WnnT = W \ \Rightarrow\ T = \frac{W}{n}
Self-weight cable tension
T(s)=H2+(w s)2T(s) = \sqrt{H^2 + (w\,s)^2}
Directed force from coordinates
F=FrB−rA∥rB−rA∥\mathbf F=F\dfrac{\mathbf r_B-\mathbf r_A}{\lVert\mathbf r_B-\mathbf r_A\rVert}
Point and directed-axis moment
MO=(rA−rO)×F,Mℓ=u^ℓ⋅MO\mathbf M_O=(\mathbf r_A-\mathbf r_O)\times\mathbf F,\quad M_\ell=\hat{\mathbf u}_\ell\cdot\mathbf M_O
Force relocation couple
MCadd=(rA−rC)×F\mathbf M_C^{\mathrm{add}}=(\mathbf r_A-\mathbf r_C)\times\mathbf F
Invariant wrench couple and pitch
M∥=hR,h=MO⋅RR⋅R(R≠0)\mathbf M_{\parallel}=h\mathbf R,\quad h=\dfrac{\mathbf M_O\cdot\mathbf R}{\mathbf R\cdot\mathbf R}\quad(\mathbf R\ne\mathbf0)
Central-axis offset and moment shift
r0=R×MOR⋅R,MA=MO−r×R\mathbf r_0=\dfrac{\mathbf R\times\mathbf M_O}{\mathbf R\cdot\mathbf R},\quad\mathbf M_A=\mathbf M_O-\mathbf r\times\mathbf R
#free-body-diagram#spatial-moment#wrench-reduction#central-axis#frames-machines#two-force-member#mechanical-advantage

کارت‌های مرتبط

مفهوماستاتیک
مرکز سطح و ممان‌های دوم سطح (قضیهٔ محورهای موازی)

ممان‌های اول و مرکز سطح‌ها، خطوط و حجم‌ها (شامل مرکز ثقل اجسام ناهمگن)، ممان‌های دوم سطح و کاربرد قضیهٔ محورهای موازی در مقاطع مرکب، ممان‌های ضربی و محورهای اصلی.

centroidcenter-of-gravityparallel-axis-theoremarea-moment-of-inertia
مفهوماستاتیک
اصطکاک خشک: گوه‌ها، تسمه‌ها و پیچ‌ها

اصطکاک خشک کولمب و مخروط اصطکاک، به‌کار رفته در تعادل در آستانهٔ لغزش، گوه‌ها، انتقال قدرت با تسمهٔ تخت/ذوزنقه‌ای (کاپستان) و پیچ‌های قدرت، شامل معیارهای خودقفل‌شوندگی.

dry-frictionfriction-angleimpending-slipbelt-friction

سوالات تمرینی · 8/22

استاتیکمتوسطقاب‌ها و ماشین‌هاکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۶۶

قاب زیر، در معرض دو بار متمرکز به اندازه P قرارگرفته است. اگر تمام اعضای قاب را بدون وزن فرض کنیم، بزرگی عکس‌العمل افقی تکیه‌گاه D ( Dₓ ) چقدر است؟ (قاب شامل مثلث A–B–C است: A پایین-چپ، B بالا-چپ، C…

استاتیکمتوسطقاب‌ها و ماشین‌هاکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۶۸

فرد نشان‌داده‌شده در شکل زیر، ۹۰۰N وزن دارد. با چشم‌پوشی از اثرات اصطکاک، برای نگه‌داشتن خود چند نیوتن نیرو باید به طناب وارد کند؟ در این آرایش، قرقره ثابت A به سقف بسته شده و قرقره متحرک B زیر آن…

استاتیکمتوسطتعادلکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۷۱

کابل یکنواخت AB تحت اثر وزن خود قرار دارد. مماس بر کابل در A افقی است. اگر کشش کابل در B دو برابر کشش در A باشد، نسبت ‏ (T_B)/(T_C) ‏ کدام است؟ ( C نقطه وسط کابل است. )

استاتیکمتوسطقاب‌ها و ماشین‌هاکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — سؤال ۶۸

در خرپای زیر، AC و BD کابل هستند و فقط کشش تحمل می‌کنند. (شکل: خرپایی مستطیلی با نقطهٔ A در بالا-چپ، B در بالا-راست، C در پایین-راست و D در پایین-چپ؛ نقاط A و D با تکیه‌گاه مفصلی به دیوار قائم…

استاتیکمتوسطقاب‌ها و ماشین‌هاکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — سؤال ۶۹

سازوکار زیر، تحت اثر وزن میله‌های یکنواخت و نیروی P درحالِ تعادل است. اگر زاویه θ افزایش یابد، نیروی P چه تغییری می‌کند؟ (توضیح شکل: یک تکیه‌گاه مفصلی در سقف قرار دارد؛ از آن یک میله به طول b به سمت…

استاتیکآسانتعادلکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۶۸

نیروی F با بزرگی ۱۷۰ نیوتن به نقطه‌ای از جسم مطابق شکل اعمال می‌شود. بردار گشتاور این نیرو حول نقطهٔ O (برحسب نیوتن متر) کدام است؟ شکل: O مبدأ است؛ A در صفحهٔ xy با مختصات (۸,۱۲,۰) متر و B روی محور z…

استاتیکآسانقاب‌ها و ماشین‌هاکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۷۰

در قاب نشان‌داده‌شده، نیروی پین B تقریباً چند نیوتن است؟ (عضو OA دو نیرویی است.) شکل: OA قوس یک‌چهارم دایره با شعاع ۰٫۴ mathrm m است؛ A نسبت به O ، ۰٫۴ mathrm m راست‌تر و بالاتر است. عضو دوم از A به…

استاتیکمتوسطقاب‌ها و ماشین‌هاکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۷۱

در سیستم نشان‌داده‌شده، زاویهٔ θ برای برقراری تعادل چند درجه است؟ (از اصطکاک صرف‌نظر شود.) شکل: میله‌ای به طول L ، لغزندهٔ قائمِ سمت چپ را به لغزندهٔ افقیِ سمت راست وصل می‌کند. فنر قائم با سختی K در…

همهٔ 22 سؤال →