سوال ۶۷ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵

برپایی مسئله

سه نیروی خارجی بر میله وارد می‌شود:

• در انتهای پایینی $A$ (کف صاف و بدون اصطکاک، $\mu=0$): عکس‌العمل فقط یک نیروی عمودی نرمال $N_A$ است — در آنجا اصطکاکی وجود ندارد.
• وزن $W$ در نقطهٔ میانی، به‌صورت عمودی (رو به پایین).
• در نقطهٔ تماس بالایی $B$ روی استوانه: یک نیروی نرمال $N$ در راستای شعاع و، در آستانهٔ لغزش، یک نیروی اصطکاک $f=\mu_s N$ در راستای مماس بر استوانه.

ایدهٔ کلیدی — تعادل افقی

از آنجا که هر دو نیروی $N_A$ و $W$ عمودی هستند، تماس در نقطهٔ $B$ تنها منبع نیروی افقی است. بنابراین برای برقراری $\sum F_x=0$، عکس‌العمل کل $R$ در $B$ (برایند $N$ و $f$) باید کاملاً عمودی باشد.

نیروی نرمال شعاعی $N$ با راستای افق زاویهٔ $\beta$ می‌سازد، یعنی با راستای قائم زاویهٔ $(90^\circ-\beta)$ دارد. برای اینکه برایند آن با اصطکاک مماسی دقیقاً رو به بالا باشد، اصطکاک باید $N$ را دقیقاً به همان اندازه به عقب متمایل کند:

$\mu_s=\frac{f}{N}=\tan\left(90^\circ-\beta\right)=\cot\beta.$

بررسی مؤلفه‌ها

با در نظر گرفتن نیروی نرمال شعاعی رو به بیرون $N(-\cos\beta,\ \sin\beta)$ و اصطکاکی که در برابر لغزش قریب‌الوقوع رو به پایین در امتداد سطح مقاومت می‌کند $f(\sin\beta,\ \cos\beta)$:

$\sum F_x:\quad -N\cos\beta+f\sin\beta=0\ \Rightarrow\ f=N\cot\beta\ \Rightarrow\ \mu_s=\cot\beta.$

معادلهٔ گشتاور حول نقطهٔ $A$ صرفاً مقادیر $N$ و $N_A$ را تعیین می‌کند؛ این معادله نسبت $f/N$ را تغییر نمی‌دهد. نتیجه مستقل از $\theta$ است.

$\boxed{\ \mu_s=\cot\beta\ }$

تلهٔ رایج: فرض نکنید که میله بر استوانه مماس است. اگر چنین بود، شعاع بر میله عمود می‌شد ($\beta=90^\circ-\theta$) و به $\tan\theta$ می‌رسیدید. در اینجا انتهای میله بر سطح منحنی فشار می‌آورد، پس زاویهٔ نرمال شعاعی $\beta$ یک دادهٔ مستقل است و تنها تعادل افقی مقدار $\mu_s=\cot\beta$ را تعیین می‌کند.