اصطکاک خشک: گوه‌ها، تسمه‌ها و پیچ‌ها

۱. ایدهٔ اصلی: اصطکاک خشک کولمب

اصطکاک خشک (کولمب) نیروی مماسی $f$ است که یک سطح ناصاف برای مقاومت در برابر لغزش نسبی میان دو جسم در تماس اعمال می‌کند. این نیرو یک عکس‌العمل است: زیر آستانهٔ لغزش هر مقداری را که تعادل ایجاب کند اختیار می‌کند، تا بیشینه‌ای که نیروی عمودی تعیین می‌کند.

• ایستا، بدون لغزش: $\;f \le \mu_s N\;$ (یک نامساوی — $f$ مجهول است و از تعادل به دست می‌آید).
• آستانهٔ لغزش (در شرف حرکت): $\;f = \mu_s N\;$ در جهت مخالف حرکت نسبی قریب‌الوقوع.
• جنبشی (لغزنده): $\;f = \mu_k N\;$، با $\mu_k \lesssim \mu_s$، در خلاف جهت سرعت واقعی.

در اینجا $N$ نیروی عمودی (فشاری) تماس است و $\mu_s,\mu_k$ ضرایب اصطکاک ایستا/جنبشی هستند — بدون بعد، تقریباً مستقل از مساحت تماس و بار عمودی (متعارف).

اثر ترکیبی $N$ و $f$ را بهتر از همه از طریق زاویهٔ اصطکاک $\phi_s$ می‌توان دید: عکس‌العمل کل تماس $R$ (برایند $N$ و $f$) نسبت به خط عمود بر سطح به اندازهٔ زیر متمایل است

در آستانهٔ لغزش $R$ روی مخروطی با نیم‌زاویهٔ $\phi_s = \arctan\mu_s$ حول خط عمود قرار می‌گیرد — مخروط اصطکاک. تا زمانی که عکس‌العمل موردنیاز درون مخروط بماند، جسم نمی‌لغزد.

۲. فرمول‌های کلیدی

در اینجا $\beta$ زاویهٔ پیچش (تماس) تسمه بر حسب رادیان است، $r$ شعاع متوسط پیچ، $\lambda$ زاویهٔ گام دندانه ($\tan\lambda = L/(2\pi r)$، $L$ = گام)، و $\alpha$ زاویهٔ شیار تسمهٔ ذوزنقه‌ای.

۳. روش — مسائل آستانهٔ لغزش

1. یک دیاگرام جسم آزاد (FBD) تمیز برای هر جسم رسم کنید. در هر تماس ناصاف $N$ را در امتداد خط عمود موضعی و $f$ را مماس بر سطح رسم کنید. برای یک تماس منحنی (استوانه‌ای/کروی) خط عمود شعاعی است و از مرکز می‌گذرد — به‌راحتی می‌توان این را اشتباه گرفت.
2. جهت حرکت قریب‌الوقوع را تعیین کنید و هر $f$ را در خلاف آن قرار دهید. اگر جهت نامعلوم است، $f$ را به‌صورت مجهول علامت‌دار نگه دارید و علامت را در پایان بررسی کنید.
3. شرط لغزش را بنویسید روی سطح‌(های)ی که در شرف حرکت‌اند: $f = \mu_s N$. سطوحی که نمی‌لغزند $f \le \mu_s N$ را به‌صورت نامساوی حفظ می‌کنند (آن‌ها را برابر قرار ندهید).
4. تعادل را اعمال کنید $\sum F_x = 0,\ \sum F_y = 0,\ \sum M = 0$. یک میان‌بر قدرتمند: اگر همهٔ نیروهای دیگر روی یک جسم عمودی باشند، عکس‌العمل تماس منفرد نیز باید عمودی باشد، که مستقیماً $f/N$ را تعیین می‌کند.
5. حل کنید برای مجهول (یک ضریب، یک زاویه، یک نیرو، یا یک گشتاور). برای رویکرد مخروط اصطکاک / سه‌نیرویی، هرگاه تمیزتر بود از $\tan\phi = f/N$ و هندسه به‌جای مؤلفه‌ها استفاده کنید.
6. بررسی کنید که هر تماس نالغزنده هنوز $f \le \mu_s N$ را برآورده می‌کند و همهٔ خطوط عمود فشاری‌اند ($N \ge 0$).

۴. مثال کوچک حل‌شده (مخروط اصطکاک)

یک بلوک به وزن $W$ روی یک سطح شیب‌دار ناصاف با زاویهٔ $\theta$ قرار دارد ($\mu_s$ بین بلوک و صفحه). بزرگ‌ترین $\theta$ را که بلوک برای آن ثابت می‌ماند بیابید، و نیروی افقی $P$ را که آن را روی یک شیب ملایم‌تر به حرکت درمی‌آورد.

در حال سکون: عکس‌العمل صفحه $R$ باید وزن عمودی را متعادل کند، پس $R$ عمودی است و با خط عمود بر سطح زاویهٔ $\theta$ می‌سازد. تعادل تا زمانی که $\theta \le \phi_s$ برقرار است، که زاویهٔ سکون (زاویهٔ ریپوز) را می‌دهد

هل دادن به بالا: با افزودن یک نیروی افقی $P$، لغزش قریب‌الوقوع به سمت بالا نیازمند آن است که عکس‌العمل روی لبهٔ دور مخروط قرار گیرد. با تجزیه در امتداد و عمود بر صفحه با $f=\mu_s N$:

فرم فشردهٔ $P = W\tan(\theta+\phi_s)$ نشان می‌دهد که روش زاویهٔ اصطکاک چگونه یک محاسبهٔ مؤلفه‌ای طولانی را به یک خط تبدیل می‌کند.

۵. حالت‌های خاص و گونه‌ها

گوه‌ها. یک گوه با نیم‌زاویهٔ $\lambda$ که زیر یک بار رانده می‌شود، نیرو را از طریق دو (یا سه) وجه ناصاف منتقل می‌کند. هر بلوک را با FBD خودش تحلیل کنید؛ هر وجه در آستانهٔ لغزش $N$ و $f=\mu_s N$ را سهم می‌گذارد. گوه خودقفل‌شونده است (پس از برداشتن نیروی محرک زیر بار می‌ماند) اگر برای یک گوهٔ دووجهی $\lambda \le 2\phi_s$ باشد، یا ساده‌تر به ازای هر وجه هنگامی که $\tan\lambda \le \mu_s$.

تسمه‌ها / کاپستان‌ها (تسمهٔ تخت روی یک استوانه یا پین). انتگرال‌گیری $dN$ و $\mu\,dN$ حول زاویهٔ پیچش، معادلهٔ کاپستان $T_{\text{tight}} = T_{\text{slack}}\,e^{\mu\beta}$ را می‌دهد. خاصیت نمایی به این معناست که چند دور پیچش بارهای عظیمی را نگه می‌دارد. نکتهٔ مهم آنکه $\beta$ کل زاویهٔ چرخش تسمه (بر حسب رادیان)، یعنی زاویهٔ جاروب‌شده توسط تماس است، نه زاویهٔ هندسی میان دو بخش مستقیم. یک تسمهٔ ذوزنقه‌ای درون شیار خود گوه می‌شود و چنگش را چند برابر می‌کند: $\mu$ را با $\mu/\sin(\alpha/2)$ جایگزین کنید.

پیچ‌های قدرت (دندانه‌مربعی). باز کردن یک دور دندانه یک سطح شیب‌دار با زاویهٔ گام $\lambda$ می‌دهد. بالا بردن یک بار $W$ نیازمند گشتاور $M = Wr\tan(\phi_s+\lambda)$ است؛ پایین آوردن نیازمند $M = Wr\tan(\phi_s-\lambda)$. اگر $\lambda \le \phi_s$ گشتاور پایین آوردن $\ge 0$ است: پیچ خودقفل‌شونده است و زیر بار به عقب رانده نمی‌شود. بازدهٔ بالا بردن برابر است با $\eta = \tan\lambda / \tan(\lambda+\phi_s)$. برای دندانه‌های آکمه/ذوزنقه‌ای، $\mu_s$ را با $\mu_s/\cos(\alpha_n)$ جایگزین کنید که در آن $\alpha_n$ نیم‌زاویهٔ دندانه است.

تماس‌های چندگانه — کدام‌یک اول می‌لغزد؟ وقتی یک جسم روی چند تکیه‌گاه ناصاف قرار دارد، تکیه‌گاهی که نیروی عمودی کوچک‌تر را تحمل می‌کند اول به $f=\mu_s N$ می‌رسد و می‌لغزد در حالی که بقیه قفل می‌مانند. بار را با گشتاورها توزیع کنید (تکیه‌گاه دورتر از خط اثر وزن بار کمتری تحمل می‌کند)، و ترتیب لغزش از آن پیروی می‌کند.

نکتهٔ کنکوری: هرگز $f=\mu_s N$ را در تماسی که واقعاً نمی‌لغزد قرار ندهید — اصطکاک در آنجا یک مجهول کران‌دار توسط $\mu_s N$ است، و تحمیل تساوی مسئله را بیش‌ازحد مقید می‌کند. اصطکاک را فقط روی سطح‌(های) در آستانهٔ حرکت با $\mu_s N$ برابر بگیرید؛ هر تماس دیگر را با نامساوی $f\le\mu_s N$ در نظر بگیرید و آن را در پایان بررسی کنید. به همین ترتیب، برای یک تسمه از زاویهٔ پیچش چرخشی $\beta=\pi-\angle$(میان بخش‌ها) استفاده کنید، نه زاویهٔ داخلی.