سوال ۶۷ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴

سه صورت استاندارد شرایط تعادل دوبعدی

هر دستگاه نیروی صفحه‌ای که بر یک جسم صلب وارد می‌شود، به یک نیروی برایند $\vec{R}$ به‌همراه یک کوپل $M_P$ حول نقطهٔ دلخواه $P$ کاهش می‌یابد. تعادل یعنی $\vec{R}=\vec{0}$ و $M_P=0$ — یعنی سه شرط اسکالر مستقل. این شرایط را می‌توان به سه صورت هم‌ارز نوشت:

صورت	معادلات	محدودیت
دو معادلهٔ نیرو + یک معادلهٔ ممان	$\sum F_x = 0,\ \sum F_y = 0,\ \sum M_A = 0$	ندارد
یک معادلهٔ نیرو + دو معادلهٔ ممان	$\sum F_x = 0,\ \sum M_A = 0,\ \sum M_B = 0$	خط $AB$ نباید بر محور $x$ عمود باشد
سه معادلهٔ ممان	$\sum M_A = 0,\ \sum M_B = 0,\ \sum M_C = 0$	نقاط $A$، $B$ و $C$ نباید هم‌خط باشند

استدلال پشت این محدودیت‌ها: اگر $\sum M_A = 0$ و $\sum M_B = 0$ باشد، دستگاه نمی‌تواند به یک کوپل خالص کاهش یابد؛ پس تنها می‌تواند به یک نیروی برایند منفرد در راستای خط $AB$ کاهش یابد. برای کامل‌کردن اثبات تعادل، معادلهٔ سوم باید بتواند این نیرو را از بین ببرد.

هندسهٔ مربع

قرار می‌دهیم $A=(0,0)$، $B=(a,0)$، $E=(a,a)$، $D=(0,a)$ و $C=\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\right)$ (محل تقاطع قطرها). محور $x$ در راستای $AB$ و محور $y$ در راستای $AD$ است.

گزینهٔ ۱ — $\sum F_x=0,\ \sum M_A=0,\ \sum M_D=0$

هر دو نقطهٔ $A=(0,0)$ و $D=(0,a)$ روی خط $x=0$ قرار دارند؛ یعنی خط $AD$ موازی محور $y$ و در نتیجه عمود بر محور $x$ است — دقیقاً همان حالت ممنوع. از $\sum M_A=\sum M_D=0$ نتیجه می‌شود برایند باقی‌مانده نیرویی به‌صورت $\vec{R}=R\hat{j}$ در راستای $AD$ است. این نیرو به‌طور اتحادی $R_x = 0$ دارد، پس $\sum F_x = 0$ خودبه‌خود برقرار است و اطلاع تازه‌ای نمی‌دهد؛ مقدار $R_y$ نامعین باقی می‌ماند. پس کافی نیست.

گزینهٔ ۲ — $\sum M_E=0,\ \sum M_B=0,\ \sum M_D=0$

هم‌خط‌بودن نقاط $E=(a,a)$، $B=(a,0)$ و $D=(0,a)$ را بررسی می‌کنیم:

$$\vec{BE} = (0,\,a), \qquad \vec{BD} = (-a,\,a), \qquad \vec{BE}\times\vec{BD} = (0)(a)-(a)(-a) = a^{2} \neq 0 .$$

ضرب خارجی ناصفر است، پس این سه نقطه هم‌خط نیستند (در واقع $B$ و $E$ روی ضلع راست قرار دارند در حالی که $D$ در سمت مقابل است). آنگاه $\sum M_E=\sum M_B=0$ ایجاب می‌کند برایند یک نیروی منفرد در راستای خط $BE$ باشد، و $\sum M_D=0$ با توجه به اینکه $D$ روی آن خط نیست، اندازهٔ آن را صفر می‌کند:

$$\sum M_D = R\,d(D,\,BE) = R\,a = 0 \;\Rightarrow\; R = 0 .$$

بنابراین $\vec{R}=\vec{0}$ و کوپل نیز صفر است: لازم و کافی. ✔

گزینهٔ ۳ — $\sum M_C=0,\ \sum M_B=0,\ \sum M_D=0$

نقطهٔ $C$ مرکز مربع، یعنی وسط قطر $DB$ است:

$$C = \frac{D+B}{2} = \left(\frac{a}{2},\,\frac{a}{2}\right).$$

پس $D$، $C$ و $B$ هم‌خط‌اند (هر سه روی قطر خط‌چین $DB$ قرار دارند). یک نیروی برایند در راستای $DB$ حول هر سهٔ این نقاط ممان صفر تولید می‌کند، بنابراین این سه معادله با یک نیروی ناصفر هم برقرار می‌شوند. پس کافی نیست.

گزینهٔ ۴ — $\sum F_y=0,\ \sum M_E=0,\ \sum M_D=0$

نقاط $D=(0,a)$ و $E=(a,a)$ روی خط $y=a$ قرار دارند؛ یعنی $DE$ موازی محور $x$ است. از دو معادلهٔ ممان نتیجه می‌شود برایند نیرویی به‌صورت $\vec{R}=R\hat{i}$ در راستای $DE$ است که برای آن به‌طور خودکار $R_y=0$ است — پس $\sum F_y=0$ زائد است و $R_x$ نامعین می‌ماند. (این همان تلهٔ گزینهٔ ۱ است، منتها با زوج ممان دیگر: معادلهٔ نیروی اضافی باید مؤلفه‌ای در امتداد خط واصل دو مرکز ممان داشته باشد.) پس کافی نیست.

نتیجه‌گیری

$$\boxed{\ \sum M_E = 0,\quad \sum M_B = 0,\quad \sum M_D = 0\ }$$

که همان گزینهٔ ۲ است و با کلید رسمی پاسخ‌ها مطابقت دارد.

نکتهٔ کنکوری: دسته‌معادله‌های جایگزین تعادل را با دو آزمون هندسی سریع غربال کنید. (i) سه معادلهٔ ممان → آیا سه نقطه هم‌خط‌اند؟ مراقب مرکز/نقطهٔ وسطی باشید که پنهانی روی یک قطر می‌نشیند (تمام هدف رسم $C$ روی $DB$ در این مسئله همین است). (ii) یک معادلهٔ نیرو + دو معادلهٔ ممان → آیا خط واصل دو مرکز ممان بر محور آن نیرو عمود است؟ اگر بله، معادلهٔ نیرو چیزی به مسئله اضافه نمی‌کند و آن دسته‌معادله ناکافی است.