سوال ۶۸ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴

برپایی مسئله

برای خرپا دستگاه مختصات زیر را (بر حسب متر) در نظر می‌گیریم:

$A(0,4),\qquad B(3,4),\qquad C(3,0),\qquad D(0,0)$

بنابراین $AB=3$ (افقی)، $BC=4$ (قائم)، $DC=3$ (افقی) و طول هر دو قطر برابر $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ است. بردار یکهٔ از $B$ به $D$ برابر $\left(-\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\right)$ و از $C$ به $A$ برابر $\left(-\tfrac{3}{5},+\tfrac{4}{5}\right)$ است.

شمارش مجهول‌ها: ۵ عضو ($AB$، $BC$، $CD$، $AC$، $BD$) به‌علاوهٔ ۴ مؤلفهٔ عکس‌العمل در دو تکیه‌گاه مفصلی $A$ و $D$، در مجموع ۹ مجهول در برابر $2j=8$ معادلهٔ تعادل گره‌ها می‌دهد — یعنی خرپا یک درجه نامعین استاتیکی است. آنچه این نامعینی را برطرف می‌کند، شرط فیزیکی کابل‌هاست:

$T_{AC}\ge 0,\qquad T_{BD}\ge 0 \quad (\text{tension only; a cable that would need compression is simply slack, } T=0)$

برای هر عضو کشش را مثبت می‌گیریم و از روش گره‌ها استفاده می‌کنیم.

حالت ۱ — اعمال P در نقطهٔ B (بارگذاری اولیه)

در گرهٔ $B$ اعضا عبارت‌اند از $BA$ (در راستای $-x$)، $BC$ (در راستای $-y$) و کابل $BD$ (در راستای $\left(-\tfrac35,-\tfrac45\right)$)، همراه با بار خارجی $(0,-P)$:

$\sum F_x:\; -N_{AB}-\tfrac{3}{5}T_{BD}=0,\qquad \sum F_y:\; -N_{BC}-\tfrac{4}{5}T_{BD}-P=0$

کابل کشیدهٔ $BD$ گرهٔ $B$ را به سمت پایین و چپ می‌کشد، پس هرگز نمی‌تواند در تحمل بار قائم رو به پایین در $B$ کمک کند؛ به‌طور صوری، اگر بخواهیم بار را از مسیر $BD$ عبور دهیم (یعنی $T_{AC}=0$ بگذاریم)، گرهٔ $C$ می‌دهد $N_{BC}=P$ و آن‌گاه $\sum F_y$ در گرهٔ $B$ نتیجه می‌دهد

$T_{BD}=-\frac{5}{4}P<0 \;\Rightarrow\; \text{impossible for a cable}$

پس $BD$ شل است، $T_{BD}=0$، و

$N_{AB}=0,\qquad N_{BC}=-P \quad (\text{compression of magnitude } P)$

بررسی گرهٔ $C$ (در این حالت بار خارجی ندارد)، با $CB$ در راستای $+y$، $CD$ در راستای $-x$ و کابل $CA$ در راستای $\left(-\tfrac35,\tfrac45\right)$:

$\sum F_y:\; N_{BC}+\tfrac{4}{5}T_{AC}=0 \;\Rightarrow\; T_{AC}=\frac{5}{4}P>0 \;\checkmark \text{(cable in tension — admissible)}$ $\sum F_x:\; -\tfrac{3}{5}T_{AC}-N_{CD}=0 \;\Rightarrow\; N_{CD}=-\frac{3}{4}P$

بنابراین مسیر انتقال بار به‌صورت $B \xrightarrow{\;BC\text{ in compression}\;} C \xrightarrow{\;AC\text{ in tension}\;} A$ است و

$\boxed{N_{BC}^{(1)}=P \ \text{(compression)}}$

حالت ۲ — لغزاندن P در امتداد خط اثر آن تا نقطهٔ C

نقطهٔ $B$ دقیقاً بالای $C$ قرار دارد، پس خط اثر قائم نیروی $P$ از $C$ می‌گذرد؛ بنابراین انتقال نیرو به $C$ مجاز است (یک نیرو را می‌توان روی جسم صلب در امتداد خط اثرش جابه‌جا کرد).

اکنون گرهٔ $B$ هیچ بار خارجی ندارد و سه عضو آن در روابط زیر صدق می‌کنند:

$\sum F_x:\; -N_{AB}-\tfrac{3}{5}T_{BD}=0,\qquad \sum F_y:\; -N_{BC}-\tfrac{4}{5}T_{BD}=0$

دوباره کابل‌ها را می‌آزماییم. اگر $BD$ کشیده بود ($T_{BD}>0$، $T_{AC}=0$)، گرهٔ $C$ می‌داد $\sum F_y:\; N_{BC}=P>0$، در حالی که گرهٔ $B$ ایجاب می‌کند $N_{BC}=-\tfrac45 T_{BD}<0$ — که تناقض است. پس $BD$ شل است:

$T_{BD}=0 \;\Rightarrow\; N_{AB}=0,\qquad N_{BC}=0$

(به بیان معادل: $B$ گره‌ای بدون بار است که تنها اعضای مؤثر آن دو میلهٔ غیرهم‌راستای $AB$ و $BC$ هستند — همان گرهٔ با اعضای نیروصفر کتاب‌های درسی.)

سازگاری در گرهٔ $C$ که اکنون بار $(0,-P)$ را تحمل می‌کند:

$\sum F_y:\; N_{BC}+\tfrac{4}{5}T_{AC}-P=0 \;\Rightarrow\; T_{AC}=\frac{5}{4}P>0 \;\checkmark$ $\sum F_x:\; -\tfrac{3}{5}T_{AC}-N_{CD}=0 \;\Rightarrow\; N_{CD}=-\frac{3}{4}P$

همهٔ معادلات تعادل و هر دو نامساوی کابل‌ها برقرارند، پس این جواب، جواب درست (و یکتا) است.

مقایسه

نیروی سایر اعضا دقیقاً بدون تغییر می‌ماند؛ تنها $BC$ تغییر می‌کند — از فشار $P$ به صفر افت می‌کند.

$N_{BC}: \; P \;\longrightarrow\; 0$

پاسخ: گزینهٔ ۳.

نکتهٔ کنکوری: لغزاندن یک نیرو در امتداد خط اثرش، عکس‌العمل‌های خارجی جسم صلب را تغییر نمی‌دهد، اما می‌تواند نیروهای داخلی اعضای خرپا را کاملاً دگرگون کند، چون بار اکنون از گرهٔ دیگری وارد سازه می‌شود. اینجا تمام وظیفهٔ عضو $BC$ انتقال $P$ از $B$ به پایین و به $C$ بود؛ اگر $P$ را مستقیماً به $C$ برسانیم، $BC$ به عضو نیروصفر تبدیل می‌شود. گزینه‌های انحرافی $\tfrac34$ و $\tfrac43$ صرفاً نسبت‌های هندسی مثلث $3\!-\!4\!-\!5$ هستند که برای وسوسه به حدس تناسبی کاشته شده‌اند.