سوال ۶۶ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴

ایدهٔ حاکم: جسمی که آزادانه آویزان است، یک عضو دونیرویی است

وقتی صفحه از یک پین بدون اصطکاک آویزان می‌شود، تنها دو نیرو بر آن وارد می‌شود: عکس‌العمل پین $\mathbf{R}$ در نقطهٔ آویز و وزن $\mathbf{W}$ در مرکز ثقل $G$. تعادل یک جسم دونیرویی ایجاب می‌کند که این دو نیرو هم‌اندازه، مخالف‌جهت و هم‌راستا باشند؛ بنابراین خطی که نقطهٔ آویز را به $G$ وصل می‌کند باید قائم باشد:

$\sum M_{\text{pin}} = 0 \;\Rightarrow\; W \cdot d_{\perp} = 0 \;\Rightarrow\; G \text{ lies directly below the pin.}$

چون صفحه ناهمگن است، $G$ مرکز هندسی نیست — موقعیت آن دقیقاً همان چیزی است که دو زاویهٔ آویزان‌شدن آشکار می‌کنند.

دستگاه مختصات چسبیده به جسم

محورها را به خود صفحه می‌چسبانیم: مبدأ را در $A$ می‌گذاریم، $x$ را در امتداد $A \to B$ و $y$ را در امتداد $A \to D$ (به داخل صفحه) می‌گیریم، پس

$A=(0,0),\quad B=(2,0),\quad C=(2,1),\quad D=(0,1),\qquad G=(x_G,\;y_G).$

حالت ۱ — آویزان از $A$

در اینجا $AG$ قائم است و $AB$ زاویهٔ $30^{\circ}$ با راستای قائم می‌سازد، پس زاویهٔ بین $AG$ و $AB$ برابر است با

\angle GAB = 30^{\circ} \quad\Rightarrow\quad \tan 30^{\circ} = \frac{y_G}{x_G} \quad\Rightarrow\quad y_G = \frac{x_G}{\sqrt{3}}. \tag{1}

حالت ۲ — آویزان از $B$

اکنون $BG$ قائم است و $AB$ (و در نتیجه $BA$) زاویهٔ $45^{\circ}$ با راستای قائم می‌سازد، پس

\angle GBA = 45^{\circ} \quad\Rightarrow\quad \tan 45^{\circ} = \frac{y_G}{2-x_G} \quad\Rightarrow\quad y_G = 2 - x_G. \tag{2}

حل دستگاه دو معادله

قرار می‌دهیم (۱) = (۲):

$\frac{x_G}{\sqrt{3}} = 2 - x_G \;\Rightarrow\; x_G\left(1+\sqrt{3}\right) = 2\sqrt{3} \;\Rightarrow\; x_G = \frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}\,(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right) = 3-\sqrt{3}.$

$x_G = 3-\sqrt{3} \approx 1.268\ \text{cm},\qquad y_G = 2 - x_G = \sqrt{3}-1 \approx 0.732\ \text{cm}.$

هر دو مقدار درون صفحه قرار می‌گیرند ($0\le x_G\le 2$، $0\le y_G\le 1$)، پس داده‌ها با یکدیگر سازگارند — ارتفاع $1\ \text{cm}$ دقیقاً برای تأیید همین موضوع در صورت مسئله آمده است.

فاصلهٔ $AG$

$AG = \sqrt{x_G^{2}+y_G^{2}} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3}-1)^{2}} = \sqrt{(12-6\sqrt{3})+(4-2\sqrt{3})} = \sqrt{16-8\sqrt{3}}.$

یک میان‌بر یک‌خطی از این جبر جلوگیری می‌کند: فاصلهٔ عمودی $G$ از خط $AB$ برابر $y_G$ است و $\angle GAB = 30^{\circ}$، پس

$AG = \frac{y_G}{\sin 30^{\circ}} = 2\,y_G = 2\left(\sqrt{3}-1\right) \approx 1.46\ \text{cm}.$

(بررسی: $\left[2(\sqrt3-1)\right]^2 = 4(4-2\sqrt3)=16-8\sqrt3$ ✓.)

پاسخ: گزینهٔ ۴، $2(\sqrt{3}-1)\ \text{cm}$.

نکتهٔ کنکوری: «آویزان از یک نقطه» همیشه یعنی مرکز ثقل دقیقاً زیر آن نقطه قرار دارد. هر زاویه را از لبه تا راستای قائم بسنجید، یعنی تا خطی که پین را به $G$ وصل می‌کند — آن‌گاه هر آویزان‌کردن یک معادلهٔ خطی برحسب $(x_G,y_G)$ می‌دهد و دو آویزان‌کردن، مرکز ثقل را کاملاً تعیین می‌کند. کار را با $AG = y_G/\sin\angle GAB$ تمام کنید نه با مسیر فیثاغورس؛ گزینهٔ ۱، یعنی $(\sqrt{3}-1)/2$، تلهٔ کسانی است که به اشتباه $AG = y_G\sin 30^{\circ}$ می‌نویسند.