سوال ۲۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

نکتهٔ کلیدی این است که یک چندجمله‌ای با ضرایب حقیقی با عمل مزدوج‌گیری مختلط جابه‌جا می‌شود.

خاصیت مزدوج‌گیری

اگر $P(z)=\sum_{k} a_k z^{k}$ باشد که در آن هر $a_k\in\mathbb{R}$ است، آنگاه برای هر عدد مختلط $z$ داریم

$\overline{P(z)}=\sum_k \overline{a_k z^{k}}=\sum_k a_k\,\overline{z}^{\,k}=P(\overline{z}),$

که در آن از $\overline{a_k}=a_k$ (حقیقی بودن ضرایب) و از این که مزدوج‌گیری با جمع و ضرب سازگار است استفاده کرده‌ایم. بنابراین

$P(\overline{z})=\overline{P(z)}.$

اعمال روی داده‌های مسئله

چون $\overline{2-i}=2+i$، داریم

$P(2+i)=P\!\left(\overline{2-i}\right)=\overline{P(2-i)}=\overline{3-2i}=3+2i.$

چون $\overline{i}=-i$، داریم

$P(-i)=P\!\left(\overline{i}\,\right)=\overline{P(i)}=\overline{2}=2.$

ترکیب و محاسبهٔ اندازه

$P(2+i)+P(-i)=(3+2i)+2=5+2i,$

$\left|P(2+i)+P(-i)\right|=\left|5+2i\right|=\sqrt{5^{2}+2^{2}}=\sqrt{29}.$

پاسخ گزینهٔ ۱ است، $\sqrt{29}$.

نکتهٔ کنکوری: «ضرایب حقیقی» تمام نکتهٔ مسئله است — همین شرط $P(\overline z)$ را به $\overline{P(z)}$ تبدیل می‌کند، پس هرگز نیازی به دانستن خودِ چندجمله‌ای ندارید. توجه کنید که $P(i)=2$ حقیقی است، که همین امر $P(-i)=2$ را نیز ایجاب می‌کند.