سوال ۲۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

قرار می‌دهیم $N(x)=xf(x)+4$. چون $f$ دوبار مشتق‌پذیر است، $N$ در همسایگیِ $x=2$ از رستهٔ $C^{2}$ است و می‌توانیم آن را در همان نقطه به بسط تیلور باز کنیم.

مخرج $(x-2)^{2}\to 0$ وقتی $x\to 2$. برای آنکه خارج‌قسمت حدِ متناهیِ $3$ داشته باشد (و نه $\pm\infty$)، صورت باید دستِ‌کم تا مرتبهٔ دوم در $x=2$ صفر شود: $N(2)=0,\qquad N'(2)=0.$

مقدار $f(2)$. از $N(2)=2f(2)+4=0$ به دست می‌آید $f(2)=-2.$

مقدار $f'(2)$. مشتق می‌گیریم: $N'(x)=f(x)+xf'(x)$. آنگاه $N'(2)=f(2)+2f'(2)=0$، پس $-2+2f'(2)=0\;\Rightarrow\; f'(2)=1.$

مقدار $f''(2)$. با توجه به $N(2)=N'(2)=0$، بسط تیلور می‌دهد $\frac{N(x)}{(x-2)^{2}}=\frac{\tfrac12 N''(2)(x-2)^{2}+o\!\left((x-2)^{2}\right)}{(x-2)^{2}}\;\xrightarrow[x\to 2]{}\;\frac{N''(2)}{2},$ که هم‌ارز است با دوبار به‌کار بردن قاعدهٔ هوپیتال. پس $\dfrac{N''(2)}{2}=3$، یعنی $N''(2)=6$. با مشتق‌گیری از $N'(x)=f(x)+xf'(x)$ به $N''(x)=2f'(x)+xf''(x)$ می‌رسیم، پس $N''(2)=2f'(2)+2f''(2)=6\;\Rightarrow\;2(1)+2f''(2)=6\;\Rightarrow\;f''(2)=2.$

سرِهم‌کردن ترکیب خواسته‌شده. $f(2)-2f'(2)+f''(2)=-2-2(1)+2=-2.$

پس پاسخ $-2$ است (گزینهٔ ۲).

نکتهٔ کنکوری: متناهی‌بودن حدِ $\dfrac{N(x)}{(x-2)^{2}}$ ایجاب می‌کند که دو ضریب پایینیِ تیلورِ صورت صفر شوند، $N(2)=N'(2)=0$، و ضریب بعدی را با $N''(2)=2\times(\text{limit})$ تثبیت می‌کند. کافی است $f(2),f'(2),f''(2)$ را از $N,N',N''$ در $x=2$ بخوانید — هرگز به فرمولی برای خودِ $f$ نیاز ندارید.