مبانی علوم ریاضیFoundations of Mathematics
منطق ریاضی، نظریهٔ مجموعه‌ها، رابطه‌ها، توابع و روش‌های اثبات.
کنکور ارشد ریاضی
مباحث
کارت‌ها · 9
مقایسهٔ اندازهٔ مجموعه‌ها با توابع یک‌به‌یک/پوشا/دوسویی، دوگانگی شمارش‌پذیر–ناشمارا، قوانین کامل حساب کاردینال‌ها (جذب، قوانین توان، جعبه‌ابزار پیوستار) و آن دسته از نتایج اصل انتخاب که الف‌صفر را کوچک‌ترین کاردینال نامتناهی می‌کنند.
قوانین بنیادی هم‌ارزی — استلزام مادی، دمورگان و توزیع‌پذیری — که برای بازنویسی و مقایسهٔ گزاره‌های مرکب به کار می‌روند.
بر سه ساختار بنیادی روی یک مجموعه مسلط شوید — توابع (یک‌به‌یک/پوشا + قوانین تصویر/پیش‌تصویر)، روابط (بازتابی/متقارن/پادمتقارن/تعدی) و اعمال دوتایی (شرکت‌پذیری/عضو همانی/وارون) — و هم‌ارزی‌هایی که کنکور مکرراً می‌آزماید.
اصل انتخاب به شما اجازه می‌دهد بی‌نهایت انتخاب دلخواه را همزمان انجام دهید؛ این اصل با لم زورن و قضیهٔ خوش‌ترتیبی هم‌ارز است و مهارت کنکوری، تشخیص این است که یک اثبات واقعاً چه زمانی به آن نیاز دارد.
روی هر مشبکهٔ کامل، هر نگاشت یکنوا نقطهٔ ثابت دارد: کوچک‌ترین آن‌ها اینفیمم همهٔ نقاط پیش‌ثابت F(x)≤ x و بزرگ‌ترین آن‌ها سوپریمم همهٔ نقاط پس‌ثابت x≤ F(x) است (کناستر–تارسکی) — بدون نیاز به پیوستگی، متناهی بودن یا اصل انتخاب.
یک رابطهٔ هم‌ارزی روی X دقیقاً همان دادهٔ یک افراز از X است، و همواره رابطهٔ «هم‌مقدار بودن» برای یک نگاشت است — پس مجموعهٔ خارج‌قسمتی آن در تناظر یک‌به‌یکِ استاندارد با برد آن نگاشت قرار دارد.
در یک فرمول سوردار، ارزش درستی تنها با سه چیز تعیین می‌شود — «ترتیب» پیشوند سورها، «ادات ربطی» که هر سور را محافظت می‌کند ( ∀…⇒ در برابر ∃…∧ )، و اینکه کدام متغیرها آزادند — بنابراین پرسش‌های هم‌ارزی به‌صورت مکانیکی حل می‌شوند، نه با شهود.
اجتماع یعنی ∃ و اشتراک یعنی ∀ : از همین یک فرهنگِ ترجمه، قوانین دمورگان، خاصیت کرانی‌بودن bigcup و bigcap ، تله‌های ∈ در برابر ⊆ در مجموعهٔ توانی، و حسابرسی نقاط انتهایی که تعیین می‌کند اجتماع یا اشتراک نامتناهیِ بازه‌ها باز درمی‌آید یا بسته، همگی نتیجه می‌شوند.
دو پرچم را تعیین کنید — ترتیب مهم است؟ تکرار مجاز است؟ — تا میان n^k ، P(n,k) ، C(n, k) و C(n+k-1, k) یکی را برگزینید، و هر شرط منفی یا وجودی را به متمم تبدیل کنید: lvert Srvert=lvert Urvert-lvert U∖ Srvert ، که نمونهٔ شاخص آن شمارش n^k-(n!)/((n-k)!) کلمهٔ دارای نماد تکراری است.