سوال ۸۷ کنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۱ — با معکوس‌کردن رابطهٔ داده‌شده به $Q = 2P - 28$ می‌رسیم؛ عرض از مبدأ آن روی محور مقدار منفی است، یعنی امتداد این خط محور قیمت را در قیمتی مثبت ($P = 14$) قطع می‌کند و بنا بر قاعدهٔ کشش خط مستقیم، کشش در همهٔ نقاط مجاز این خط بزرگ‌تر از یک است.

چارچوب مفهومی. کشش قیمتی نقطه‌ای (point price elasticity) نسبت درصد تغییر مقدار به درصد تغییر قیمت است:

$E \;=\; \frac{\%\,\Delta Q}{\%\,\Delta P} \;=\; \frac{dQ}{dP}\times\frac{P}{Q}$

نکتهٔ کلیدی این است که در فرمول $\dfrac{dQ}{dP}$ ظاهر می‌شود، نه شیب رابطه به همان شکلی که در صورت سؤال نوشته شده است. رابطهٔ سؤال به‌صورت «قیمت برحسب مقدار» (تابع معکوس) داده شده، پس نخست باید معکوس شود:

$P = 14 + 0.5\,Q \quad\Longrightarrow\quad Q = 2P - 28,\qquad \frac{dQ}{dP} = 2$

با جای‌گذاری در تعریف کشش:

$E \;=\; 2\times\frac{P}{2P-28} \;=\; \frac{P}{P-14}$

مقدار تنها هنگامی معنادار است که $Q = 2P-28 > 0$، یعنی $P > 14$. در سراسر این ناحیه $0 < P-14 < P$ برقرار است و بنابراین

$E \;=\; \frac{P}{P-14} \;>\; 1$

به‌ازای هر $P > 14$. برای نمونه، در $P = 21$ داریم $Q = 14$ و $E = \dfrac{21}{7} = 3$؛ در $P = 28$ داریم $E = \dfrac{28}{14} = 2$. هرچه از قیمتِ عرض از مبدأ دورتر شویم کشش به ۱ نزدیک می‌شود، اما هرگز به آن نمی‌رسد و همواره بزرگ‌تر از یک می‌ماند.

قاعدهٔ هندسی‌ای که سؤال بر پایهٔ آن ساخته شده (قاعدهٔ اینکه خط کدام محور را قطع می‌کند) — رابطه را به شکل $Q = c + dP$ بنویسید و تنها به علامت $c$ نگاه کنید:

این قاعده معمولاً ذیل بحث کشش عرضه (supply elasticity) آموزش داده می‌شود، اما ریاضیات آن به علامت شیب کاری ندارد و برای هر خط مستقیمی برقرار است. تنها حالتی که بیرون از این دسته‌بندی می‌ماند، خطی با شیب نزولی و هر دو عرض از مبدأ مثبت است (شکل متعارف تقاضا $P = a - bQ$) که در طول آن کشش از $\infty$ تا صفر تغییر می‌کند و تنها در نقطهٔ میانی برابر یک می‌شود.

عبارت تعیین‌کننده در صورت سؤال. دقیقاً علامت مثبت ضریب $Q$ در «$+\,0.5Q$» است. همین یک علامت، خط را از خانوادهٔ $P = a - bQ$ بیرون می‌برد: عرض از مبدأ روی محور مقدار منفی می‌شود ($c = -28$) و کل شاخهٔ معنادار بالای $P = 14$ قرار می‌گیرد. بنابراین هر استدلالی که به «نقطهٔ میانی منحنی تقاضا» (midpoint of the demand curve) تکیه کند، از همان ابتدا در اینجا نامعتبر است و پاسخ از قاعدهٔ عرض از مبدأ به دست می‌آید، نه از جای‌گذاری عددی.

کالبدشکافی گزینه‌های نادرست

• ۴) «منفی یک» — این دقیقاً نتیجهٔ جای‌گذاری کورکورانه است: $Q = 2(7) - 28 = -14$ و سپس $E = 2\times\dfrac{7}{-14} = -1$. اما $Q = -14$ مقداری مجاز نیست؛ روی این خط اصلاً نقطه‌ای با قیمت کمتر از ۱۴ وجود ندارد که کشش در آن تعریف شود. این گزینه برای داوطلبی طراحی شده که بدون بررسی معناداربودن $Q$ عدد جای‌گذاری می‌کند. اگر رابطه $P = 14 - 0.5Q$ بود، همین محاسبه در $P=7$ عدد $-1$ می‌داد و این گزینه درست می‌شد.
• ۳) «مساوی یک» — دو مسیر به این تله می‌انجامد: (الف) گرفتن قدرمطلق همان $-1$؛ (ب) خواندن رابطه به‌صورت $P = 14 - 0.5Q$ و به‌کاربردن قاعدهٔ نقطهٔ میانی (چون ۷ نصف عرض از مبدأ ۱۴ است، کشش واحد می‌شد). این گزینه تنها زمانی درست است که خط از مبدأ مختصات بگذرد (مثلاً $P = 0.5Q$، یعنی $c = 0$) یا نقطهٔ موردنظر دقیقاً در نقطهٔ میانی یک خط تقاضای نزولی باشد.
• ۲) «کوچک‌تر از یک» — این قاعدهٔ خطی است که محور مقدار را در مقداری مثبت قطع می‌کند. اگر رابطه $Q = 14 + 0.5P$ بود ($c = 14 > 0$)، کشش در همهٔ نقاط کمتر از یک می‌شد: در $P = 7$، $Q = 17.5$ و $E = 0.5\times\dfrac{7}{17.5} = 0.2$. همچنین اگر تقاضا $P = 14 - 0.5Q$ بود و قیمت پایین‌تر از نقطهٔ میانی (کمتر از ۷) قرار می‌گرفت، همین گزینه پاسخ می‌شد.

نکتهٔ کنکوری: پیش از هر جای‌گذاری، رابطه را به شکل $Q = c + dP$ بنویسید و فقط به علامت $c$ نگاه کنید: $c < 0$ ⇐ کشش در همهٔ نقاط بزرگ‌تر از یک؛ $c = 0$ ⇐ مساوی یک؛ $c > 0$ با شیب مثبت ⇐ کوچک‌تر از یک. قاعدهٔ «نقطهٔ میانی ⇐ کشش واحد» تنها به خط نزولی $P = a - bQ$ تعلق دارد و به‌محض دیدن علامت «+» پیش از $Q$ باید کنار گذاشته شود.