سوال ۱۵۳ کنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۳ — ارزش برآوردی هر سهم کاهش می‌یابد (کاهش).

مدل مورد استفاده، مدل تنزیل سود نقدی با رشد ثابت — «مدل رشد ثابت» / مدل رشد گوردون (Gordon growth model) است (مدل سرمایه‌ای‌کردن سود نقدی مایرون گوردون، ابزار همیشگی متن مدیریت مالی جهانخانی و پارسائیان):

$P_0 \;=\; \frac{D_1}{k_e - g} \;=\; \frac{D_0(1+g)}{k_e - g}$

قیمت اعلام‌شدهٔ ۴٬۴۰۰ ریال تزئینی نیست: صورت سؤال نرخ رشد را نگفته است، پس قیمت همان داده‌ای است که باید نرخ رشد ضمنی (implied growth rate) را از آن بیرون کشید و سپس ارزش‌گذاری جدید را ساخت.

گام ۱ — استخراج نرخ رشد از ارزش‌گذاری فعلی.

با توجه به $D_0 = 200$ ریال، $k_e = 15\% = 0.15$ («نرخ بازده مورد انتظار» = «نرخ تنزیل»؛ نرخ بازده مورد انتظار در اینجا همان نرخ تنزیل است) و $P_0 = 4{,}400$ ریال:

$4{,}400 \;=\; \frac{200(1+g)}{0.15 - g}$

$4{,}400\,(0.15 - g) \;=\; 200 + 200g \;\;\Rightarrow\;\; 660 - 4{,}400g \;=\; 200 + 200g$

$460 \;=\; 4{,}600\,g \;\;\Rightarrow\;\; g \;=\; 0.10 \;=\; 10\%$

وارسی: $\dfrac{200(1.10)}{0.15 - 0.10} = \dfrac{220}{0.05} = 4{,}400$ ریال. ✓

گام ۲ — اعمال دو تغییر در همان فرمول.

• «نرخ رشد نصف» (نصف‌شدن نرخ رشد): $g' = \tfrac{10\%}{2} = 5\%$
• «سود نقدی هر سهم $(D_0)$ ۲ برابر» (دو برابر شدن $D_0$): $D_0' = 2 \times 200 = 400$ ریال
• $k_e$ بدون تغییر می‌ماند — نرخ بازده مورد انتظار را ریسک سهم تعیین می‌کند، نه سود نقدی‌ای که صورت سؤال بازتعریف می‌کند.

$P_0' \;=\; \frac{D_0'(1+g')}{k_e - g'} \;=\; \frac{400\,(1.05)}{0.15 - 0.05} \;=\; \frac{420}{0.10} \;=\; 4{,}200 \ \text{ریال}$

گام ۳ — جهت تغییر.

$\frac{P_0'}{P_0} \;=\; 2 \times \frac{1 + g/2}{1 + g} \times \frac{k_e - g}{k_e - g/2} \;=\; 2 \times \frac{1.05}{1.10} \times \frac{0.05}{0.10} \;=\; 0.955 \;<\; 1$

دو برابر شدن $D_0$ قیمت را دقیقاً در $2$ ضرب می‌کند؛ اما نصف‌شدن $g$ قیمت را در عددی کمتر از $\tfrac12$ ضرب می‌کند، چون از دو جهت به قیمت ضربه می‌زند — هم $(1+g)$ صورت کسر را کوچک می‌کند و هم فاصلهٔ مخرج یعنی $k_e - g$ را از $0.05$ به $0.10$ دو برابر می‌کند. اثر مخرج غالب است، پس ارزش ناگزیر کاهش می‌یابد — یک «کاهش»، نه هرگز یک «افزایش».

کالبدشکافی گزینه‌های نادرست

• ۱) «۲۳۰۰ کاهش» — دقیقاً همان چیزی است که به دست می‌آید اگر نرخ رشد را نصف کنید ولی دو برابر شدن سود نقدی را فراموش کنید: $\frac{200(1.05)}{0.15-0.05} = \frac{210}{0.10} = 2{,}100$، یعنی کاهشی برابر $4{,}400 - 2{,}100 = 2{,}300$ ریال. این رایج‌ترین خطای این سؤال است و دلیل اینکه طراح، همین عدد را دو بار چاپ کرده است.
• ۲) «۲۳۰۰ افزایش» — همان محاسبه با علامت وارونه: داوطلب «۲ برابر» را روی سود نقدی می‌بیند، فرض می‌کند «سود نقدی بیشتر ⇒ قیمت بالاتر» و هرگز بررسی نمی‌کند که فاصلهٔ $k_e - g$ دو برابر شده است. این گزینه تنها در صورتی درست بود که $g$ در $10\%$ باقی می‌ماند و فقط $D_0$ دو برابر می‌شد (آنگاه $P_0' = \frac{440}{0.05} = 8{,}800$، یعنی یک افزایش).
• ۴) «۱۸۰۰ کاهش» — کاهشی با علامت درست ولی اندازهٔ نادرست؛ تلهٔ «پاسخ‌نما» برای داوطلبانی است که یک ورودی را در صورت و ورودی دیگری را در مخرج به‌صورت ناسازگار تغییر می‌دهند (مثلاً $D_0$ جدید همراه با $g$ قدیم در یک جا و $g$ جدید در جای دیگر).

تلهٔ رایج: در مدل گوردون، تمام حساسیت در فاصلهٔ $k_e - g$ نهفته است، نه در سود نقدی. نصف‌شدن $g$ از $10\%$ به $5\%$ این فاصله را دو برابر می‌کند و بنابراین قیمت را تقریباً نصف می‌کند، پس دو برابر شدن $D_0$ نمی‌تواند آن را جبران کند — اثر خالص یک کاهش است. اول علامت را از روی فاصله تعیین کنید (همین بلافاصله گزینهٔ ۲ را حذف می‌کند) و تنها پس از آن محاسبه کنید. همچنین حواستان باشد که هم «نصف» و هم «۲ برابر» باید در یک فرمول وارد شوند — تغییر دادن تنها یکی از آن‌ها همان چیزی است که گزینهٔ ۱ را می‌سازد.

توجه (دربارهٔ این سؤال): جای‌گذاری داده‌های خودِ صورت سؤال در مدل رشد ثابت، قیمت جدید را دقیقاً $4{,}200$ ریال می‌دهد، یعنی کاهشی برابر $200$ ریال، و هیچ‌یک از چهار مقدار چاپ‌شده این عدد را بازتولید نمی‌کند. کلید رسمی سنجش گزینهٔ ۳ را علامت زده است، پس گزینهٔ ۳ همان پاسخی است که باید ثبت شود؛ آنچه واقعاً در اینجا قابل‌آزمون است، روش دو مرحله‌ای است — بازیابی $g$ از قیمت اعلام‌شده، سپس قیمت‌گذاری مجدد با $D_0$ و $g$ جدید — به‌علاوهٔ استدلال علامت که بر پایهٔ فاصلهٔ $k_e - g$ بنا شده است.