فرمولمدیریت مالی ارزش‌گذاری سهام و سود تقسیمی

تنزیل سود تقسیمی و مدل رشد گوردون (Dividend Discount & the Gordon Growth Model)

ارزش هر سهم را برابر ارزش فعلی جریان سودهای تقسیمی مورد انتظار آن می‌گیرد و — تحت فرض رشد ثابت و دائمی — این جریان را در فرمول گوردون P0 = D1/(ke - g) خلاصه می‌کند؛ همراه با قاعدهٔ زمان‌بندی، اتحادهای نرخ رشد ضمنی و رشد پایدار، و بسط‌های چندمرحله‌ای.

کارت فرمول کنکور ارشد مدیریت

اهمیت

۰/۵

۱. تعریف — مدل چیست

الگوی تنزیل سود تقسیمی (dividend discount model, DDM) — «الگوی تنزیل سود تقسیمی» (و نیز «مدل تنزیل سود سهام») — قیمت یک سهم عادی (common share) را برابر ارزش فعلی همهٔ سودهای نقدی‌ای که دارندهٔ آن انتظار دریافتشان را دارد قرار می‌دهد، تنزیل‌شده با نرخ بازدهی که بازار در ازای تحمل ریسک آن سهم مطالبه می‌کند. سهم سررسید ندارد و اصل مبلغی بازنمی‌گرداند؛ پس جریان نقدی آن بی‌نهایت است و تنها وجه نقدی که دارندگان به‌عنوان یک طبقه دریافت می‌کنند سود تقسیمی است. قیمت فروش مجدد منبع ارزش اضافی نیست، چون هرکس سهم را می‌خرد در واقع بهای سودهای تقسیمی آینده را می‌پردازد. مدل رشد گوردون — «مدل رشد گوردون» / «مدل رشد ثابت» (constant-growth model) — شکل بستهٔ همان مجموع بی‌نهایت است، تحت یک فرض: سود تقسیمی برای همیشه با نرخ ثابت $g$ رشد می‌کند که اکیداً کمتر از نرخ بازده مورد انتظار $k_e$ است.

P_0 \;=\; \sum_{t=1}^{\infty} \frac{D_t}{(1+k_e)^{t}} \quad\xrightarrow[\;D_t \,=\, D_0(1+g)^t\;]{}\quad P_0 \;=\; \frac{D_1}{k_e-g} \;=\; \frac{D_0(1+g)}{k_e-g},\qquad k_e>g

۲. خاستگاه — مدل از کیست و چه مشکلی را حل کرد

این اصل که ارزش یک اوراق بهادار برابر ارزش فعلی وجوه نقدی است که توزیع می‌کند، نخستین بار به‌دست جان بور ویلیامز (John Burr Williams) در کتاب The Theory of Investment Value (۱۹۳۸) بیان شد. شکل بستهٔ رشد ثابت به نام مایرون جی. گوردون (Myron J. Gordon) (همراه با الی شاپیرو، Eli Shapiro) شناخته می‌شود که آن را در میانهٔ دههٔ ۱۹۵۰ و در جریان کار بر نرخ سود مورد نیاز برای سرمایه‌گذاری‌های سرمایه‌ای منتشر کرد؛ متون فارسی مدیریت مالی نیز به همین سبب آن را «مدل گوردون» یا به‌صورت توصیفی «مدل رشد ثابت» می‌نامند.

مسئله‌ای که این مدل برای حل آن ساخته شد کاملاً عملی است: DDM در شکل صادقانه‌اش به فهرستی بی‌نهایت از پیش‌بینی‌های سود تقسیمی نیاز دارد که هیچ‌کس نمی‌تواند تهیه کند. فرض یک نرخ رشد ثابت، آن فهرست بی‌نهایت را به سه ورودی فرومی‌کاهد — $D_0$ (یا $D_1$ )، $g$ و $k_e$ — و ارزش‌گذاری را به یک تقسیم ساده تبدیل می‌کند. هر ایرادی که به این مدل گرفته می‌شود (ناتوانی در ارزش‌گذاری شرکتی که سود تقسیم نمی‌کند، و انفجار قیمت وقتی $g \to k_e$ ) بهای همین ساده‌سازی است.

۳. ساختار

۳.۱ ورودی‌ها

نماد	فارسی	English	نحوهٔ خواندن آن
$P_0$	ارزش ذاتی هر سهم	intrinsic value per share	آنچه سهم امروز می‌ارزد، نه آنچه به آن قیمت معامله می‌شود
$D_0$	سود نقدی پرداخت‌شده (سال گذشته)	dividend just paid	عددی تاریخی؛ پیش از استفاده باید یک بار رشد داده شود
$D_1$	سود نقدی مورد انتظار سال آینده	next expected dividend	$D_1=D_0(1+g)$ — همان صورتی که فرمول واقعاً می‌خواهد
$k_e$ (یا $r$ )	نرخ بازده مورد انتظار / نرخ تنزیل	required rate of return	با ریسک سهم تعیین می‌شود (مثلاً از طریق CAPM)؛ از سیاست تقسیم سود اثر نمی‌پذیرد
$g$	نرخ رشد سود تقسیمی	dividend growth rate	بنا بر فرض، ثابت و دائمی؛ باید $g<k_e$ برقرار باشد
$b$	نرخ نگهداشت (سود انباشته)	retention / plowback ratio	$b=1-\text{payout}$
payout	نسبت پرداخت سود	payout ratio	$\text{DPS}/\text{EPS}$
$E_1$	سود هر سهم مورد انتظار	expected EPS	$D_1=\text{payout}\times E_1$

۳.۲ خانوادهٔ مدل‌ها

گونه	فارسی	فرض دربارهٔ سود تقسیمی	فرمول
رشد صفر (عایدی دائمی)	مدل بدون رشد	برای همیشه ثابت، $g=0$	$P_0=\dfrac{D}{k_e}$ — همچنین قیمت متعارف سهام ممتاز (preferred stock)
رشد ثابت (گوردون)	مدل رشد ثابت	رشد دائمی با نرخ $g$ ، $g<k_e$	$P_0=\dfrac{D_0(1+g)}{k_e-g}$
سود تقسیمی با تأخیر	سود تقسیمی با تأخیر	تا $t=n$ هیچ سودی، سپس رشد ثابت	$P_0=\dfrac{1}{(1+k_e)^{\,n-1}}\cdot\dfrac{D_n}{k_e-g}$
دو مرحله‌ای / چندمرحله‌ای	مدل دو مرحله‌ای	نامنظم به مدت $n$ سال، سپس $g$ ثابت	$P_0=\displaystyle\sum_{t=1}^{n}\frac{D_t}{(1+k_e)^t}+\frac{1}{(1+k_e)^{n}}\cdot\frac{D_{n+1}}{k_e-g}$
رشد فوق‌العاده	رشد فوق‌العاده	$g_1>k_e$ به مدت $n$ سال، سپس $g_2<k_e$	دو مرحله‌ای با $D_t=D_0(1+g_1)^t$ در مرحلهٔ ۱

۳.۳ سه اتحاد که از دل همین فرمول بیرون می‌آید

\underbrace{k_e \;=\; \frac{D_1}{P_0} \;+\; g}_{\text{total return } = \text{ dividend yield } + \text{ capital-gains yield}} \qquad \underbrace{g \;=\; \frac{k_e P_0 - D_0}{P_0 + D_0}}_{\text{implied growth (نرخ رشد ضمنی)}} \qquad \underbrace{g \;=\; b \times \text{ROE}}_{\text{sustainable growth (رشد پایدار)}}

اتحاد چهارم که در ارزش‌گذاری به روش ضرایب پیوسته به کار می‌رود، نسبت قیمت به درآمد توجیه‌شدهٔ آتی (justified leading P/E) است:

\frac{P_0}{E_1} \;=\; \frac{\text{payout}}{k_e-g}

۴. نحوهٔ به‌کارگیری

۱. تعیین کنید کدام سود تقسیمی به شما داده شده است. «سود نقدی سال گذشته» همان $D_0$ است و باید در $(1+g)$ ضرب شود. «سود نقدی مورد انتظار سال آینده» از پیش $D_1$ است و نباید دوباره رشد داده شود. ۲. شرط اعتبار $g<k_e$ را بررسی کنید. اگر $g\ge k_e$ باشد، مجموع واگرا می‌شود: مدل رشد ثابت پاسخ متناهی ندارد و باید از مدل چندمرحله‌ای استفاده کرد. $g$ دائمی بالاتر از نرخ رشد اقتصاد نیز به همین ترتیب نامعتبر است. ۳. قاعدهٔ زمان‌بندی را اعمال کنید — پرتکرارترین ویژگی این مدل در کنکور. عبارت $\dfrac{D_{t+1}}{k_e-g}$ قیمت را یک دوره پیش از نخستین سود تقسیمیِ جریانی که سرمایه‌ای می‌کند به دست می‌دهد. اگر نخستین سود تقسیمی در $t=4$ پرداخت شود، فرمول $P_3$ را می‌دهد و آنگاه $P_3$ باید سه دوره تنزیل شود، نه چهار دوره. ۴. حساسیت را از روی اختلاف مخرج بخوانید. تمام اهرم این مدل در مخرج $k_e-g$ نهفته است: صورت به‌صورت خطی به سود تقسیمی واکنش نشان می‌دهد، حال آنکه قیمت به‌صورت هذلولوی به این اختلاف پاسخ می‌دهد. بنابراین تغییر در $g$ قیمت را دو بار جابه‌جا می‌کند — یک بار از راه $(1+g)$ در صورت و بسیار شدیدتر از راه $k_e-g$ در مخرج — و اثر مخرج غالب است. ۵. وقتی قیمت داده شده است، مدل را وارونه اجرا کنید. اگر صورت سؤال قیمت بازار را بدهد و $g$ (یا $k_e$ ) را ندهد، آن قیمت خودِ معادله است، نه تزئین: نخست ورودی مفقود را به دست آورید، سپس دوباره ارزش‌گذاری کنید. ۶. توجه کنید چه چیزی تغییر می‌کند و چه چیزی نه. $k_e$ ورودی‌ای است که ریسک آن را تعیین می‌کند؛ تغییر نام‌گذاری سود تقسیمی آن را عوض نمی‌کند. و در این مدل، خود قیمت نیز با نرخ $g$ رشد می‌کند: $P_1=P_0(1+g)$ — و دقیقاً به همین دلیل بازده ناشی از افزایش قیمت (capital-gains yield) برابر $g$ است.

۵. مثال کوتاه حل‌شده

شرکتی برای سال آینده سود هر سهم $E_1=450$ ریال را انتظار دارد، نسبت پرداخت سود را $60\%$ نگه می‌دارد، بازده حقوق صاحبان سهام $\text{ROE}=20\%$ کسب می‌کند و سهامداران آن نرخ بازده مورد انتظار $k_e=14\%$ را مطالبه می‌کنند. این شرکت هم‌اکنون $D_0=250$ ریال سود تقسیمی پرداخت کرده است.

گام ۱ — نرخ رشد از روی مبانی بنیادی. نرخ نگهداشت $b=1-0.60=0.40$ ، پس

g \;=\; b\times \text{ROE} \;=\; 0.40\times 0.20 \;=\; 0.08 \;=\; 8\%

گام ۲ — سود تقسیمی سال آینده. هر دو مسیر هم‌خوان‌اند:

D_1 \;=\; D_0(1+g) \;=\; 250(1.08) \;=\; 270\ \text{ریال} \qquad\text{or}\qquad D_1 \;=\; \text{payout}\times E_1 \;=\; 0.60\times 450 \;=\; 270\ \text{ریال}

گام ۳ — ارزش‌گذاری سهم.

P_0 \;=\; \frac{D_1}{k_e-g} \;=\; \frac{270}{0.14-0.08} \;=\; \frac{270}{0.06} \;=\; 4{,}500\ \text{ریال}

گام ۴ — بررسی‌های متقابل که هرکدام پنج ثانیه وقت می‌برد.

تجزیهٔ بازده: $\dfrac{D_1}{P_0}+g=\dfrac{270}{4{,}500}+0.08=0.06+0.08=0.14=k_e$ ✓
نسبت P/E توجیه‌شده: $\dfrac{P_0}{E_1}=\dfrac{4{,}500}{450}=10$ و $\dfrac{\text{payout}}{k_e-g}=\dfrac{0.60}{0.06}=10$ ✓
رشد قیمت: $P_1=\dfrac{D_2}{k_e-g}=\dfrac{270(1.08)}{0.06}=4{,}860=P_0(1.08)$ ✓

گونهٔ الف — سود تقسیمی با تأخیر. فرض کنید شرکت همهٔ سود را دوباره سرمایه‌گذاری می‌کند و نخستین سود تقسیمی، همچنان $270$ ریال، تنها در پایان سال $5$ پرداخت می‌شود، با همان $g$ و $k_e$ در ادامه. عایدی دائمی رشدیابنده در $t=4$ قیمت‌گذاری می‌شود:

P_4=\frac{D_5}{k_e-g}=\frac{270}{0.06}=4{,}500\ \text{ریال} \;\Longrightarrow\; P_0=\frac{4{,}500}{(1.14)^{4}}=\frac{4{,}500}{1.68896}\approx 2{,}664\ \text{ریال}

گونهٔ ب — نرخ رشد ضمنی. اگر در عوض بازار قیمت $P_0=6{,}000$ ریال را با همان $D_0=250$ و $k_e=14\%$ اعلام کند، نرخ رشدی که بازار در قیمت لحاظ کرده است برابر است با

g=\frac{k_e P_0 - D_0}{P_0+D_0}=\frac{0.14(6{,}000)-250}{6{,}000+250}=\frac{590}{6{,}250}=0.0944\approx 9.44\%

۶. «اشتباه نشود با…»

زوج مفاهیم	آنکه اینجا درست است	مفهوم همسایه	وجه تمایز
$D_0$ در برابر $D_1$	$D_1$ در صورت کسر قرار می‌گیرد	$D_0$ سود تازه‌پرداخت‌شده است	«سال گذشته» ⇐ در $(1+g)$ ضرب شود؛ «سال آینده / مورد انتظار» ⇐ همان‌طور به کار رود
رشد ثابت در برابر رشد صفر	$P_0=\dfrac{D_1}{k_e-g}$	$P_0=\dfrac{D}{k_e}$	سهام ممتاز (preferred stock) سود ثابت دارد ⇐ $g=0$ و هیچ‌جا $(1+g)$ نداریم
گوردون در برابر تأخیری / چندمرحله‌ای	یک نرخ رشد از $t=1$	ابتدا یک دورهٔ انتظار یا یک مرحلهٔ رشد فوق‌العاده	اگر صورت سؤال سالِ نخستین سود تقسیمی را نام ببرد، محاسبهٔ ارزش نهایی و تنزیل آن گریزناپذیر است
عایدی دائمی رشدیابنده در برابر اقساط مساوی رشدیابنده	عایدی دائمی: بدون تاریخ پایان	اقساط: تعداد پرداخت‌های معین	گوردون فرض «تا ابد» دارد؛ ذکر افق زمانی یعنی باید از فرمول اقساط استفاده کرد
DDM در برابر ارزش‌گذاری جریان نقد آزاد	سود تقسیمی را با $k_e$ تنزیل می‌کند	FCFF جریان نقد شرکت را با WACC تنزیل می‌کند	DDM فقط حقوق صاحبان سهام را ارزش‌گذاری می‌کند؛ شرکتی که سود تقسیم نمی‌کند و هرگز نخواهد کرد با DDM قابل ارزش‌گذاری نیست
$k_e$ در برابر $g$ در برابر بازده سود تقسیمی	$k_e$ = بازده کل مورد انتظار	$g$ = بازده ناشی از افزایش قیمت؛ $D_1/P_0$ = بازده سود تقسیمی	رابطهٔ $k_e=\dfrac{D_1}{P_0}+g$ برقرار است — هرگز $g$ را به $k_e$ اضافه نکنید
ارزش ذاتی در برابر قیمت بازار در برابر ارزش اسمی/دفتری	خروجی مدل، یعنی $P_0$	قیمت بازار / ارزش اسمی یا دفتری	$P_0>$ قیمت ⇐ کمتر از ارزش قیمت‌گذاری شده (خرید)؛ ارزش اسمی و دفتری در DDM هیچ نقشی ندارند
P/E توجیه‌شدهٔ گوردون در برابر P/E گذشته‌نگر	$\dfrac{P_0}{E_1}=\dfrac{\text{payout}}{k_e-g}$	$\dfrac{P_0}{E_0}$ از سود هر سهم سال گذشته استفاده می‌کند	نسبت گذشته‌نگر برابر نسبت آینده‌نگر ضرب در $(1+g)$ است
$g=b\times\text{ROE}$ در برابر نرخ رشد تاریخی	رشد پایدار از مبانی بنیادی	میانگین رشد مرکب سود تقسیمی در گذشته	افزایش نسبت پرداخت سود، $D_1$ را بالا می‌برد اما $g$ را پایین می‌آورد — این دو مستقل از هم نیستند

نگاهی گذرا به حساسیت

افزایش ورودی	اثر بر $P_0$	چرا
$D_0$ یا $D_1$	افزایش، به‌تناسب	فقط صورت کسر
$g$	افزایش، بیش از تناسب	هم صورت را بالا می‌برد و هم اختلاف $k_e-g$ را کوچک می‌کند
$k_e$	کاهش شدید	اختلاف را بزرگ می‌کند؛ صرفاً افزایش ریسک می‌تواند قیمت را نصف کند
$g \to k_e$	$P_0 \to \infty$	مدل فرو می‌پاشد — باید به مدل چندمرحله‌ای رفت

نکتهٔ کنکوری: تقریباً هر پرسش گوردون را دو سؤال تعیین می‌کند و هر دو پیش از هرگونه محاسبه پرسیده می‌شوند. (۱) کدام سود تقسیمی در دست من است — $D_0$ یا $D_1$ ؟ (۲) عبارت $\dfrac{D_{t+1}}{k_e-g}$ دقیقاً روی چه تاریخی می‌نشیند؟ این فرمول همواره قیمت را یک دوره پیش از نخستین سود تقسیمی‌ای که سرمایه‌ای می‌کند به دست می‌دهد؛ پس نخستین سود تقسیمی در سال $n$ به $P_{n-1}$ می‌انجامد و $n-1$ دوره تنزیل لازم دارد — همین خطای یک‌واحدی، پرتکرارترین گزینهٔ انحرافی ساخته‌شده در این درس است. و هرگاه تغییر در $g$ با تغییر در $D$ همراه شود، پیش از محاسبه جهت اثر را از روی اختلاف $k_e-g$ تعیین کنید: مخرج همیشه بر صورت غلبه می‌کند.

فرمول‌های کلیدی

General dividend discount model (الگوی تنزیل سود تقسیمی)

P_0 = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{D_t}{(1+k_e)^{t}}

Zero-growth / preferred stock (مدل بدون رشد)

P_0 = \frac{D}{k_e}

Gordon constant-growth model (مدل رشد ثابت)

P_0 = \frac{D_1}{k_e - g} = \frac{D_0(1+g)}{k_e - g}, \qquad k_e > g

Timing rule — price one period before the first dividend

P_t = \frac{D_{t+1}}{k_e - g}

Deferred first dividend at t = n

P_0 = \frac{1}{(1+k_e)^{\,n-1}} \cdot \frac{D_n}{k_e - g}

Two-stage (multi-stage) valuation

P_0 = \sum_{t=1}^{n} \frac{D_t}{(1+k_e)^{t}} + \frac{1}{(1+k_e)^{n}} \cdot \frac{D_{n+1}}{k_e - g}

Required return = dividend yield + capital-gains yield

k_e = \frac{D_1}{P_0} + g

Implied growth rate from a quoted price (نرخ رشد ضمنی)

g = \frac{k_e P_0 - D_0}{P_0 + D_0}

Sustainable growth from fundamentals (رشد پایدار)

g = b \times \text{ROE} = (1 - \text{payout}) \times \text{ROE}

Justified leading price-earnings ratio

\frac{P_0}{E_1} = \frac{\text{payout}}{k_e - g}

#gordon-growth-model#dividend-discount-model#stock-valuation#required-rate-of-return#dividend-growth-rate#terminal-value#implied-growth-rate

سوالات تمرینی · 8/9

مدیریت مالیمتوسطارزش‌گذاری سهام و سود تقسیمیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۱۵۳

سود نقدی هر سهم شرکت آلفا در سال گذشته (D₀) ۲۰۰ ریال و نرخ بازده مورد انتظار ۱۵ درصد است. براساس مدل رشد ثابت و با نرخ تنزیل ۱۵ درصد، ارزش هر سهم شرکت ۴۴۰۰ ریال برآورد شده است. اگر نرخ رشد نصف و سود…

مدیریت مالیمتوسطارزش‌گذاری سهام و سود تقسیمیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۱۵۹

شرکت «الف» درحال حاضر سود نقدی پرداخت نمی‌کند، اما انتظار می‌رود در پایان سال چهارم ۵۰ درصد سود خالص ۱۰۰۰ ریالی خود را تقسیم کند و پس از آن نسبت پرداخت سود را حفظ کند. با فرض نرخ رشد ثابت ۵ درصد و…

مدیریت مالیآسانارزش‌گذاری سهام و سود تقسیمیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۱۵۳

شرکت بیمه عمر «الف»، سهام ممتاز مادام‌العمر غیرقابل تبدیل و غیرقابل بازخرید با نرخ سود ۱۲ درصد و ارزش ۱۰ هزار ریالی منتشر کرده است. اگر حداقل بازده موردانتظار برای سهام ممتاز مشابه ۱۰ درصد باشد، ارزش…

مدیریت مالیآسانارزش‌گذاری سهام و سود تقسیمیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۱۵۷

نسبت قیمت به سود هر سهم شرکت آلفا ۲/۵ و نسبت سود نقدی تقسیمی ۲۵ درصد است. اگر شرکت به ازای هر سهم ۳,۰۰۰ ریال سود نقدی به سهامداران پرداخت کرده باشد، نسبت سود نقدی به قیمت هر سهم، چند درصد است؟

مدیریت مالیآسانارزش‌گذاری سهام و سود تقسیمیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۱۶۵

در اول سال ۱۴۰۳، قیمت بازار هر سهم شرکت «الف» ۸۰۰ ریال است. اگر قیمت اسمی هر سهم ۱,۰۰۰ ریال، سود نقدی سهام سال ۱۴۰۳ برابر با ۲۰۰ ریال، نرخ رشد ۵ درصد و نرخ بازده موردانتظار ۳۵ درصد باشد، کدام مورد…

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطاوراق بهادار با درآمد ثابتکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۲۰۹

در شرایطی که بازار انتظار افزایش نرخ بهره داشته باشد نسبت .................... .

مدیریت مالیمتوسطارزش‌گذاری سهام و سود تقسیمیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۲ — سؤال ۱۵۶

پیش‌بینی تحلیلگران در پایان سال ۱۳x۱ نشان می‌دهد که سود سهام نقدی شرکت آلفا در سال ۱۳x۲ و ۱۳x۳ به‌ازای هر سهم ۲۰۰ ریال است، اما پس از آن، همواره با نرخ ثابت ۴ درصد رشد می‌کند. اگر نرخ بازده…

مدیریت مالیآسانارزش‌گذاری سهام و سود تقسیمیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۱ — سؤال ۱۶۵

سود خالص و سود نقدی هر سهم شرکت الف در سال ۱۴۰۰ به‌ترتیب ۱٬۲۵۰ و ۱٬۰۰۰ ریال بوده است. پیش‌بینی می‌شود سود شرکت به‌صورت دائمی ۸ درصد رشد داشته باشد. اگر نرخ تنزیل ۱۲ درصد باشد، قیمت جاری هر سهم شرکت…

همهٔ 9 سؤال →