سوال ۴۳ کنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۳ — $\alpha\beta=-1$.

مدل مسئله — این دقیقاً تعریف مجانب مایل است

شرط

دقیقاً همان تعریف مجانب مایل (oblique / slant asymptote) $y=\alpha x+\beta$ برای تابع $f$ است. پس تمام صورت مسئله این است: مجانب مایل $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x+1}$ را بیاب و شیب آن را در عرض از مبدأش ضرب کن.

روش ۱ — تقسیم چندجمله‌ای (سریع‌ترین راه)

تقسیم $x^{2}+1$ بر $x+1$:

با جای‌گذاری در حد:

چون $\dfrac{2}{x+1}\to 0$، عبارت داخل کروشه تنها در صورتی به $0$ میل می‌کند که بخش رشدیابنده و بخش ثابت، هر دو جداگانه صفر شوند:

(اگر $\alpha\neq 1$ باشد، جملهٔ $(1-\alpha)x$ به $\pm\infty$ واگرا می‌شود؛ و اگر $\alpha=1$ ولی $\beta\neq-1$ باشد، حد برابر ثابتِ ناصفرِ $-(1+\beta)$ می‌شود.)

گزینهٔ ۳.

روش ۲ — فرمول‌های استاندارد مجانب (کنترل پاسخ)

همان نتیجه: مجانب برابر $y=x-1$ است و $\alpha\beta=-1$.

تلهٔ رایج: دو تلهٔ علامتی.

گزینه	اشتباهی که به آن می‌انجامد
۱) $4$	نگه‌داشتن باقی‌مانده به‌عنوان بخشی از خط — یعنی خواندن $\frac{x^{2}+1}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}$ به‌صورت «$\alpha=2,\ \beta=2$» و ضرب دو عدد $2$ در هم
۲) $1$	انداختن علامت منفیِ عرض از مبدأ: گرفتن مجانب به‌صورت $y=x+1$ (لغزشی بسیار رایج — خارج‌قسمت $x-1$ است، نه $x+1$) که $1\times 1=1$ می‌دهد
۴) $-4$	همان اشتباه باقی‌مانده در گزینهٔ ۱، با یک تغییر علامت ($\alpha=2,\ \beta=-2$)

عادت ایمن: همیشه اول تقسیم کن، $f(x)=(\text{خط})+(\text{کسر سره})$ بنویس و $\alpha,\beta$ را از روی خط بخوان — هرگز آن‌ها را از ضرایب کسر اولیه حدس نزن.

نکتهٔ کنکوری: برای یک تابع گویا که درجهٔ صورت آن دقیقاً یک واحد بیشتر از درجهٔ مخرج است، همواره مجانب مایل وجود دارد و برابر خارج‌قسمت تقسیم است؛ جملهٔ باقی‌مانده همان چیزی است که به صفر میل می‌کند. اینجا $\deg(x^{2}+1)-\deg(x+1)=1$، پس از پیش تضمین شده بود که پاسخ یک خط واقعی باشد.