سوال ۴۸ کنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۰

پاسخ: گزینهٔ ۱ — خود دنباله الزاماً همگرا نیست.

مبنای پاسخ قوانین حد (limit laws)، پیوستگی (continuity) و قضیهٔ فشردگی (squeeze theorem) است. عبارت تعیین‌کننده «لزوماً» است: همگرایی اندازه‌ها، علامت جمله‌ها را کنترل نمی‌کند. مثال نقض:

قدر مطلق‌ها همگرا هستند، اما خود دنباله میان دو مقدار متمایز نوسان می‌کند.

فرض کنید قدر مطلق‌ها به $L\ge0$ میل کنند. هر سه گزینهٔ دیگر الزاماً همگرا هستند:

اگر حد قدر مطلق‌ها صفر بود، همگرایی گزینهٔ ۱ نیز تضمین می‌شد؛ اما صورت سؤال چنین محدودیتی ندارد.

نکتهٔ کنکوری: اندازهٔ همگرا می‌تواند علامت‌های متناوب را پنهان کند. دنبالهٔ کراندار تقسیم بر شمارهٔ جمله به صفر میل می‌کند، حتی اگر خود دنباله نوسان داشته باشد.