جعبه‌ابزار حسابان: توابع، حد، مشتق، بهینه‌سازی و مساحت

جعبه‌ابزار حسابان تک‌متغیره در زیرآزمون ریاضی و آمار — حد و مجانب، پیوستگی و مشتق‌پذیری در نقطهٔ اتصال، قواعد مشتق‌گیری، تحلیل علامت برای یکنوایی، اکسترمم‌ها و تقعر، بهینه‌سازی با تحلیل نهایی (مارژینال)، تکنیک‌های انتگرال‌گیری، و مشتق‌های جزئی همراه با قضیهٔ اویلر. محدودیت‌های هم‌زمان دامنه، ترکیب کمینه/بیشینه و جزء اعشاری، شمول انتهاهای برد و مساحت هندسی در برابر انتگرال علامت‌دار را نیز پوشش می‌دهد. بهینه‌سازی قدرمطلقی با نقاط شکست، شیب و بررسی دنباله‌ها، و وارون‌سازی نمایی سینوس هذلولوی را نیز آموزش می‌دهد.

کارت فرمول کنکور ارشد مدیریت

اهمیت

۰/۵

۱. تعریف — جعبه‌ابزار حسابان چیست

بخش حسابان در زیرآزمون ریاضی و آمار (Mathematics & Statistics) مجموعه‌ای از ترفندهای بی‌ربط نیست: یک جعبه‌ابزار واحد است که چهار پرسشِ به‌هم‌پیوسته دربارهٔ یک تابع $f$ می‌پرسد. به کجا میل می‌کند وقتی ورودی‌اش به یک نقطه نزدیک می‌شود یا به بی‌نهایت می‌رود — حد (limit) و مجانب (asymptote). با چه سرعتی تغییر می‌کند در یک نقطه — مشتق (derivative)، و اصلاً آیا این نرخ وجود دارد یا نه (پیوستگی و مشتق‌پذیری — continuity and differentiability). کجا بهترین است — بهینه‌سازی (optimization)، که تماماً از روی علامت‌های $f'$ و $f''$ خوانده می‌شود. و تغییرهایش چگونه انباشته می‌شوند — انتگرال (integral)، که مشتق را معکوس می‌کند و یک نرخ را دوباره به یک کلّ تبدیل می‌کند. برای داوطلب مدیریت، این چهار ابزار ستون فقرات ریاضیِ تحلیل نهایی (مارژینال) است: مشتق همان تفکر «نهایی/مارژینال» است (هزینهٔ نهایی، درآمد نهایی)، مشتق دوم قانون بازده نزولی است (بازده نزولی)، بهینه‌سازی همان «حداکثرسازی سود» است، و انتگرال‌گیری راهی است که کلّ را از جدول مقادیر نهایی بازمی‌گرداند.

۲. خاستگاه — پیدایش و صاحب نظریه

حساب دیفرانسیل و انتگرال در اواخر سدهٔ هفدهم به‌طور مستقل توسط آیزاک نیوتن (Isaac Newton) (با نام «روش فلوکسیون‌ها»، با انگیزهٔ سرعت و حرکت) و گوتفرید ویلهلم لایب‌نیتس (Gottfried Wilhelm Leibniz) پدید آمد؛ نمادگذاری لایب‌نیتس — $\dfrac{dy}{dx}$ برای مشتق و علامت کشیدهٔ $\int$ برای انتگرال — همان است که هنوز در همهٔ کتاب‌های درسی به کار می‌رود. این دو نیمه برای حل دو مسئله ابداع شدند که به‌ظاهر بی‌ارتباط بودند: مسئلهٔ خط مماس/نرخ تغییر (حساب دیفرانسیل) و مسئلهٔ مساحت/انباشت (حساب انتگرال)؛ قضیهٔ اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال (Fundamental Theorem of Calculus) دقیقاً همین کشف است که این دو معکوس یکدیگرند. دو سهم دیگر — یکی پیش‌تر و یکی پس‌تر — برای این آزمون اهمیت دارند:

قاعدهٔ فرما (Fermat's rule) — در بیشینه یا کمینهٔ داخلیِ مشتق‌پذیر، خط مماس افقی است — پیش از شکل‌گیری کامل نظریه مطرح شد و هنوز موتور محرک هر پرسش بهینه‌سازی است.
قاعدهٔ حدهای $\tfrac{0}{0}$ که در کتاب درسیِ ۱۶۹۶ مارکی دو لوپیتال (Marquis de l'Hôpital) منتشر شد و عموماً به درس‌گفتارهای یوهان برنولی (Johann Bernoulli) نسبت داده می‌شود، و قضیهٔ اویلر دربارهٔ توابع همگن (Euler's theorem on homogeneous functions)، که دلیل آن است که توابع تولید کاب–داگلاس و بازده نسبت به مقیاس (returns to scale) را می‌توان از روی یک عملگر دیفرانسیلیِ واحد خواند.

تعریف مدرن $\varepsilon$ – $\delta$ برای حد بسیار دیرتر آمد (کوشی، وایرشتراس)؛ کنکور از لایهٔ محاسباتی استفاده می‌کند، نه از لایهٔ دقیق و اصولی.

۳. ساختار — خودِ جعبه‌ابزار

۳.۰ دامنه، برد و ترکیب توابع

دامنه (domain) مجموعهٔ ورودی‌های مجاز است؛ برد (range) مجموعهٔ خروجی‌هایی است که واقعاً حاصل می‌شوند. پیش از حد یا مشتق، همهٔ محدودیت‌های تابع حقیقی را اشتراک بگیرید: عبارت زیر ریشهٔ زوج نامنفی، مخرج ناصفر و آرگومان لگاریتم مثبت باشد. اگر خودِ ریشهٔ زوج در مخرج قرار گیرد، عبارت زیر آن باید اکیداً مثبت باشد.

برای تابع کمینه/بیشینه (minimum/maximum function)، محل تلاقی شاخه‌ها را بیابید تا ضابطهٔ فعال مشخص شود؛ تغییر شاخه را با مرز دامنه اشتباه نکنید. محدودیت‌های مفید برای ریشهٔ دوم عبارت‌اند از:

\min\{u,v\}\ge0\iff u\ge0\ \text{and}\ v\ge0,\qquad \max\{u,v\}\ge0\iff u\ge0\ \text{or}\ v\ge0

مثال: برای $h(x)=\frac{\sqrt{\min\{x,3x-2\}}}{x-2}$ ، هر دو عبارت زیر کمینه باید نامنفی و مخرج ناصفر باشند:

x\ge0,\quad 3x-2\ge0,\quad x\ne2\Longrightarrow D_h=[2/3,2)\cup(2,\infty)

شاخه‌ها در $x=1$ تلاقی می‌کنند، اما این نقطه کران پایین دامنه نیست. روابط کمینه و بیشینه را فقط جایی به کار ببرید که خودِ عبارت‌های شاخه‌ها تعریف شده‌اند.

برای ترکیب توابع (composition) ابتدا ورودی را محدود کنید و سپس خروجی تابع درونی را دنبال کنید:

D_{g\circ f}=\{x\in D_f:f(x)\in D_g\},\qquad \operatorname{Range}(g\circ f)=g\bigl(\operatorname{Range}(f)\cap D_g\bigr)

جزء صحیح (floor) بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی ورودی است؛ جزء اعشاری (fractional part) در بازه‌ای نیمه‌باز قرار می‌گیرد، حتی برای ورودی منفی:

t=x-\lfloor x\rfloor\in[0,1),\qquad -0.3-\lfloor-0.3\rfloor=-0.3-(-1)=0.7

اگر تابع بیرونی روی این بازه پیوسته و اکیداً صعودی باشد، مقدار کران پایین و حد یک‌طرفهٔ کران بالا را حساب کنید: مقدار پایین را شامل و مقدار بالای دست‌نیافتنی را حذف کنید. تابع نزولی ترتیب و شمول انتهاها را معکوس می‌کند. با تابع درونی $f(x)=x-\lfloor x\rfloor$ ، برای $g(t)=\frac{3t}{t+2}$ :

g'(t)=\frac{6}{(t+2)^2}>0,\quad g(0)=0,\quad \lim_{t\to1^-}g(t)=1\Longrightarrow \operatorname{Range}(g\circ f)=[0,1)

برای تابع بیرونی غیریکنوا، آن را به بخش‌های یکنوا تقسیم کنید یا اکسترمم‌های داخلی را بررسی کنید؛ تصویر انتهاها به‌تنهایی کافی نیست.

۳.۰الف سینوس هذلولوی و وارون آن

سینوس هذلولوی (hyperbolic sine) با توابع نمایی تعریف می‌شود:

\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2,\qquad (\sinh x)'=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2>0.

از منفی تا مثبت بی‌نهایت اکیداً صعودی است؛ پس دامنه، برد و دامنهٔ وارون همگی مجموعهٔ اعداد حقیقی‌اند. قرار دهید $t=e^x>0$ در $y=\sinh x$ ؛ آنگاه $t^2-2yt-1=0$ . فقط ریشهٔ مثبت مجاز است:

t=y+\sqrt{1+y^2}>0,\qquad \operatorname{arsinh}y=\ln\left(y+\sqrt{1+y^2}\right).

مثلاً $y=4/3$ می‌دهد $t=(4+5)/3=3$ و بنابراین $x=\ln3$ . تابع وارون ورودی را بازیابی می‌کند؛ معکوسِ عددِ خروجی نیست.

پیش‌نیاز جبری: توان‌های زوج

قرار دهید $a=\cos^2x$ ، $b=\sin^2x$ ؛ آنگاه $a+b=1$ . توان‌های زوج مثلثاتی را به توان‌های $a,b$ تبدیل کنید:

a^2-b^2=(a-b)(a+b),\quad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\quad ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}.

اتحاد آخر حاصل‌ضرب را از مجموع و تفاضل بازیابی می‌کند؛ برای کاهش توان سوم از $a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab$ استفاده کنید. این اتحادها پیش از حدگیری، توان‌ها را ساده و عامل‌های مشترک را حذف می‌کنند.

۳.۱ حدها و مجانب‌ها — limits and asymptotes

یک حد فقط زمانی «سخت» است که جایگذاری مستقیم به فرم مبهم (indeterminate form) برسد. هر فرم یک ابزار استاندارد دارد:

فرم مبهم	خاستگاه معمول	ابزار استاندارد
$\dfrac{0}{0}$	صورت و مخرج ریشهٔ مشترک دارند	تجزیه و ساده‌کردن؛ ضرب در مزدوج برای رادیکال‌ها؛ یا لوپیتال
$\dfrac{\infty}{\infty}$	نسبت دو عبارت رو به رشد	تقسیم صورت و مخرج بر بزرگ‌ترین توان؛ یا لوپیتال
$\infty-\infty$	تفاضل دو رشد	تبدیل به یک کسر واحد (مخرج مشترک یا مزدوج)
$0\cdot\infty$	حاصل‌ضرب یک عامل میل‌کننده به صفر در یک عامل رو به رشد	بازنویسی به‌صورت خارج قسمت، سپس استفاده از قواعد بالا
$1^{\infty}$	پایه‌ای که به $1$ میل می‌کند به توانی رو به رشد	$\ln$ گرفتن، یا استفاده از $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}=e^{a}$

برای توابع گویا در بی‌نهایت، مقایسهٔ درجه بدون هیچ محاسبه‌ای همه‌چیز را روشن می‌کند:

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n}x^{n}+\cdots}{b_{m}x^{m}+\cdots}= \begin{cases} 0 & n<m\\ \dfrac{a_{n}}{b_{m}} & n=m\\ \pm\infty & n>m \end{cases}

قاعدهٔ لوپیتال (قاعدهٔ هوپیتال / l'Hôpital's rule): اگر $f/g$ فرم $\tfrac00$ یا $\tfrac{\infty}{\infty}$ در $x_0$ بدهد، و صورت و مخرج مشتق‌پذیر و مشتق مخرج در همسایگی محذوف ناصفر باشد، آنگاه $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ هر گاه حد سمت راست موجود باشد — از صورت و مخرج جداگانه مشتق بگیرید، هرگز به‌صورت خارج قسمت.

هر سه مجانب صرفاً گزاره‌هایی دربارهٔ حد هستند:

مجانب (asymptote)	حدِ تعریف‌کننده	راه یافتنش
قائم (vertical) $x=a$	$\displaystyle\lim_{x\to a^{\pm}}f(x)=\pm\infty$	ریشه‌های مخرج که پس از ساده‌سازی کامل باقی می‌مانند
افقی (horizontal) $y=L$	$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$	وقتی $\deg N\le\deg D$ وجود دارد؛ $L$ همان مقدار قاعدهٔ درجه‌هاست
مایل (oblique / slant) $y=mx+b$	$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-(mx+b)\bigr]=0$	$m=\displaystyle\lim\frac{f(x)}{x}$ ، $b=\displaystyle\lim\bigl(f(x)-mx\bigr)$ ؛ برای تابع گویا با $\deg N=\deg D+1$ دقیقاً خارج قسمتِ تقسیم طولانی است

یک تابع گویا اگر و تنها اگر درجهٔ صورتش دقیقاً یک واحد از درجهٔ مخرج بیشتر باشد مجانب مایل دارد؛ آنگاه

f(x)=\underbrace{(mx+b)}_{\text{quotient} \;=\; \text{the asymptote}}+\underbrace{\frac{R(x)}{D(x)}}_{\to\,0}

مجانب افقی و مجانب مایل در یک سمت هرگز با هم وجود ندارند.

۳.۲ پیوستگی و مشتق‌پذیری — continuity and differentiability

تابع $f$ در $x_{0}$ پیوسته (continuous) است هر گاه سه شرط هم‌زمان برقرار باشد: $f(x_{0})$ تعریف شده باشد، $\lim_{x\to x_{0}}f(x)$ موجود باشد (هر دو حد یک‌طرفه برابر باشند)، و این دو با هم برابر باشند. تابع $f$ در $x_{0}$ مشتق‌پذیر (differentiable) است هر گاه

f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}

موجود باشد — یعنی معادلاً وقتی دو مشتق یک‌طرفه برابر و متناهی باشند. در یک تابع چندضابطه‌ای (piecewise-defined function) همه‌چیز در نقطهٔ اتصال $x_{0}$ رخ می‌دهد و آزمون آن دو معادله است، به همین ترتیب:

\textbf{(1) continuity: } \lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}) \qquad \textbf{(2) slopes: } f'_{-}(x_{0})=f'_{+}(x_{0})

این استلزام فقط یک‌طرفه است: مشتق‌پذیر $\Rightarrow$ پیوسته $\Rightarrow$ حد موجود است. عکس‌های آن همگی نادرست‌اند — $f(x)=\lvert x\rvert$ در $0$ پیوسته است ولی $f'_{-}=-1\neq f'_{+}=+1$ ؛ پس یک کنج (corner)، یک نوک تیز یا یک مماس قائم مشتق‌پذیری را از بین می‌برد در حالی که پیوستگی باقی می‌ماند.

۳.۳ قواعد مشتق — the differentiation rules

قاعده	فرمول
توان (power)	$\dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$
ضرب (product)	$(uv)'=u'v+uv'$
خارج قسمت (quotient)	$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$
زنجیره‌ای (chain)	$\dfrac{d}{dx}f\bigl(g(x)\bigr)=f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)$
نمایی (exponential)	$\dfrac{d}{dx}e^{u}=e^{u}u'$ ، و برای پایهٔ عمومی $\dfrac{d}{dx}b^{u}=b^{u}\,(\ln b)\,u'$
لگاریتمی (logarithmic)	$\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u'}{u}$ ، $\dfrac{d}{dx}\log_{b}u=\dfrac{u'}{u\ln b}$
مثلثاتی (trigonometric)	$(\sin u)'=u'\cos u$ ، $(\cos u)'=-u'\sin u$ ، $(\tan u)'=u'\sec^{2}u$
ضمنی (implicit)	از دو طرف نسبت به $x$ مشتق بگیرید و $y=y(x)$ در نظر بگیرید، سپس $y'$ را به دست آورید؛ معادلاً $y'=-\dfrac{F_{x}}{F_{y}}$ برای $F(x,y)=0$

برای مشتق دوم یک منحنی ضمنی، از عبارتی که همین حالا برای $y'$ به دست آمده مشتق بگیرید (قاعدهٔ خارج قسمت)، سپس مقادیر عددی $x$ ، $y$ و $y'$ را در آن نقطه جایگذاری کنید — جایگذاری اعداد پیش از مشتق‌گیری دوم روش کلاسیکِ از دست دادن پاسخ است.

۳.۴ تحلیل علامت — $f'$ و $f''$ چه می‌گویند

علامت	نام	معنا
$f'(x)>0$ روی $I$	اکیداً صعودی (strictly increasing)	نمودار در سراسر $I$ بالا می‌رود
$f'(x)<0$ روی $I$	اکیداً نزولی (strictly decreasing)	نمودار در سراسر $I$ پایین می‌آید
$f'(x_{0})=0$ یا تعریف‌نشده	نقطهٔ بحرانی (critical point)	نامزدِ اکسترمم — نه بیشتر
$f''(x)>0$	تقعر رو به بالا (concave up)	شیب در حال افزایش؛ منحنی بالای مماس خود قرار می‌گیرد
$f''(x)<0$	تقعر رو به پایین (concave down)	شیب در حال کاهش؛ منحنی پایینِ مماس خود قرار می‌گیرد
$f''$ در $x_{0}$ تغییر علامت می‌دهد	نقطهٔ عطف (inflection point)	تقعر در آنجا برمی‌گردد

آزمون مشتق اول (first-derivative test): در یک نقطهٔ بحرانی، تغییر علامت $f'$ از $+\to-$ بیشینهٔ نسبی می‌دهد، از $-\to+$ کمینهٔ نسبی، و اگر تغییر علامتی نباشد هیچ‌کدام. آزمون مشتق دوم (second-derivative test): $f'(x_{0})=0$ همراه با $f''(x_{0})<0\Rightarrow$ بیشینهٔ نسبی؛ همراه با $f''(x_{0})>0\Rightarrow$ کمینهٔ نسبی؛ و با $f''(x_{0})=0$ آزمون بی‌نتیجه است و باید به علامت $f'$ برگردید.

دو عادت در تحلیل علامت بهای خود را می‌پردازند: (۱) $f'$ را کاملاً تجزیه کنید، و (۲) هر عامل اکیداً مثبت را حذف کنید — $e^{g(x)}$ ، $x^{2}+1$ ، توان زوج دور از صفرهایش — چون در آنجا علامت را عوض نمی‌کند؛ صفرهای آن را به‌عنوان نامزد نقاط بحرانی حفظ کنید؛ آنگاه علامت $f'$ فقط با یک نامساوی چندجمله‌ای کوچک تعیین می‌شود.

نقطهٔ بحرانی باید در دامنهٔ تابع باشد؛ نقطهٔ عطف نیازمند تغییر تقعر در نقطه‌ای از نمودار است. نفی عطف با اتکا به مشتق دوم ناصفر، پیوستگی آن مشتق در همسایگی را فرض می‌کند. فرمول شیب ضمنی نیز به ناصفربودن مشتق جزئیِ مخرج نیاز دارد.

۳.۵ بهینه‌سازی — the optimization procedure

برای یافتن بیشینه یا کمینهٔ $f$ روی یک دامنه:

۱. کمیتِ مورد بهینه‌سازی را تابعی از یک متغیر بنویسید (بقیه را با قید حذف کنید). ۲. دامنهٔ مجاز (feasible domain) را تعیین کنید — نامنفی بودن، ظرفیت، یک ناحیهٔ هندسی. این گام بیش از خودِ مشتق‌گیری پاسخ سؤالات کنکور را تعیین می‌کند. ۳. نقاط بحرانی داخل دامنه را بیابید: $f'=0$ یا $f'$ تعریف‌نشده. ۴. آن‌ها را با $f''$ (یا جدول علامت $f'$ ) دسته‌بندی کنید. ۵. برای تابع پیوسته روی بازهٔ بسته، مقادیر را در نقاط بحرانی و در دو نقطهٔ انتهایی مقایسه کنید — قضیهٔ مقدار اکسترمم تضمین می‌کند برنده میان همین‌هاست. اگر تابع هدف روی بازهٔ مجاز یکنوا باشد، اصلاً نیازی به مشتق نیست: بهینه در یکی از دو انتها قرار دارد.

خوانش اقتصادی همین ماشین‌آلات:

کمیت	تعریف	شرط بهینگی
هزینهٔ نهایی — marginal cost $MC$	$C'(q)$	—
درآمد نهایی — marginal revenue $MR$	$R'(q)$	سود $\pi=R-C$ آنجا بیشینه است که $MR=MC$ و $\pi''<0$
هزینهٔ متوسط — average cost $AC$	$C(q)/q$	$AC$ آنجا کمینه است که $AC=MC$
کشش — elasticity	$\varepsilon=\dfrac{dQ}{dP}\cdot\dfrac{P}{Q}$	یک مشتق که به نسبتی بدون واحد مقیاس‌بندی شده است

قاعدهٔ $AC=MC$ واقعیت جداگانه‌ای نیست، خودِ قاعدهٔ خارج قسمت است:

\left(\frac{C(q)}{q}\right)'=\frac{C'(q)\,q-C(q)}{q^{2}}=0 \;\Longleftrightarrow\; C'(q)=\frac{C(q)}{q} \;\Longleftrightarrow\; MC=AC

۳.۵الف نقاط شکست و شیب‌های عبارت قدرمطلقی

برای بهینه‌سازی خطیِ چندضابطه‌ای (piecewise-linear optimization):

F(x)=\sum_i w_i\lvert a_ix+b_i\rvert,\qquad F'(x)=\sum_i w_ia_i\operatorname{sgn}(a_ix+b_i).

نقاط شکست $-b_i/a_i$ را برای $a_i$ ناصفر مرتب کنید و بین آن‌ها علامت‌ها و شیب‌ها را بیازمایید. تغییر شیب منفی به مثبت کمینه می‌دهد؛ شیب صفر، بازهٔ تخت. پیش از مقایسهٔ مقادیر نقاط شکست، هر دو دنباله را بررسی کنید: شیب مثبتِ دنبالهٔ چپ یا منفیِ دنبالهٔ راست، تابع هدف را از پایین بی‌کران می‌کند. وزن منفی می‌تواند تحدب را از بین ببرد. مثال: $2\lvert x\rvert-\lvert x-1\rvert$ در دو سوی $0,1$ شیب‌های $-1,3,1$ دارد؛ هر دو دنباله به بیرون صعود می‌کنند و کمینهٔ آن $-1$ در $x=0$ است.

۳.۶ انتگرال — integration

پادمشتق (antiderivative) مشتق‌گیری را معکوس می‌کند؛ انتگرال نامعین همان خانوادهٔ کامل $F(x)+c$ است.

پادمشتق‌های استاندارد
$\displaystyle\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\quad(n\neq-1)$	$\displaystyle\int\frac{dx}{x}=\ln\lvert x\rvert+c$
$\displaystyle\int e^{x}dx=e^{x}+c$	$\displaystyle\int b^{x}dx=\frac{b^{x}}{\ln b}+c$
$\displaystyle\int\sec^{2}x\,dx=\tan x+c$	$\displaystyle\int\tan^{2}x\,dx=\tan x-x+c$
$\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+c$	$\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+c$

سه تکنیک تمام آزمون را پوشش می‌دهد:

تغییر متغیر (substitution). قرار دهید $u=g(x)$ ، $du=g'(x)\,dx$ ؛ این تغییر متغیر وقتی مستقیم است که عامل $g'(x)\,dx$ از پیش موجود باشد؛ در غیر این صورت همهٔ عامل‌های باقی‌مانده را با متغیر انتخاب‌شده و ضریب تغییر متغیر تبدیل کنید. دو الگو تکرار می‌شوند: $\dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx$ با $u=\sqrt{x}$ (پس $\dfrac{dx}{\sqrt{x}}=2\,du$ )، و $\dfrac{u'}{u}dx=\ln\lvert u\rvert$ .
اتحادها پیش از انتگرال‌گیری. برای توان‌های معمول توابع مثلثاتی، وقتی جدول پایه کافی نیست از اتحادها استفاده کنید؛ نخست با $1+\tan^{2}u=\sec^{2}u$ ، $\sin^{2}u=\tfrac{1-\cos 2u}{2}$ ، $\cos^{2}u=\tfrac{1+\cos 2u}{2}$ تبدیلشان کنید.
جزء‌به‌جزء (integration by parts).

\int u\,dv=uv-\int v\,du

قضیهٔ اساسی (Fundamental Theorem) دو نیمهٔ این جعبه‌ابزار را به هم پیوند می‌زند:

\int_{a}^{b}F'(x)\,dx=F(b)-F(a), \qquad \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)

پس انتگرال معین یک جدول نهایی (مارژینال) روی $[a,b]$ دقیقاً همان تغییر در کلّ است — مساحت زیر $MC$ از $0$ تا $q$ کل هزینهٔ متغیر است، و ثابت انتگرال‌گیری همان هزینهٔ ثابت است.

۳.۶الف مساحت هندسی در برابر انباشت علامت‌دار

مساحت هندسی (geometric area) میان نمودار و محور افقی نامنفی است. صفرها و تغییر علامت‌ها را پیدا کنید، بازه را بشکنید و علامت بخش‌های زیر محور را معکوس کنید:

A=\int_a^b\lvert f(x)\rvert\,dx,\qquad I=\int_a^b f(x)\,dx

برای دو نمودار، انتگرال‌ده را با قدر مطلق تفاضل آن‌ها جایگزین کنید و در نقاط تقاطع بازه را بشکنید. اگر $f$ روی بازهٔ متقارن فرد باشد، انتگرال علامت‌دار خنثی می‌شود، اما مساحت دو برابر نیمهٔ بازه است:

\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0,\qquad A=2\int_0^a\lvert f(x)\rvert\,dx

مثال: تابع $f(x)=x^3$ روی $[-2,2]$ در صفر تغییر علامت می‌دهد:

A=2\int_0^2x^3\,dx=2\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2=8,\qquad I=0

قدر مطلقِ نتیجهٔ نهاییِ انتگرال علامت‌دار عموماً غلط است: بخش‌های مثبت و منفی پیش‌تر یکدیگر را خنثی کرده‌اند. پیش از کاربرد تقارن، پیوستگی یا همگرایی انتگرال ناسره را بررسی کنید؛ نمی‌توان تکینگی را خنثی کرد و مساحت هندسی متناهی ساخت.

۳.۷ مشتق جزئی — partial derivatives and Euler's theorem

برای $z=f(x,y)$ ، مشتق جزئی (partial derivative) یعنی $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ نسبت به $x$ مشتق می‌گیرد در حالی که $y$ را ثابت در نظر می‌گیرد. پیش از مشتق‌گیری از یک لگاریتم، در صورت رعایت محدودیت‌های دامنهٔ لگاریتم حقیقی، نخست آن را با $\ln(uv)=\ln u+\ln v$ ، $\ln\frac{u}{v}=\ln u-\ln v$ ، $\ln u^{k}=k\ln u$ ، $\ln e^{u}=u$ باز کنید — آنگاه قاعده‌های ضرب/خارج قسمت اصلاً لازم نمی‌شوند.

یک تابع وقتی همگن از درجهٔ $k$ (homogeneous of degree $k$ ) است که $u(tx,ty)=t^{k}u(x,y)$ . آنگاه قضیهٔ اویلر (Euler's theorem) بیان می‌کند

x\,\frac{\partial u}{\partial x}+y\,\frac{\partial u}{\partial y}=k\,u

و با تقسیم بر $u$ ، برای لگاریتم $z=\ln u$ همان عملگر خودِ درجه را برمی‌گرداند:

x\,\frac{\partial z}{\partial x}+y\,\frac{\partial z}{\partial y}=k

برای تابع کاب–داگلاس $u=Ax^{a}y^{b}$ درجه برابر $k=a+b$ است، که دقیقاً همان بازده نسبت به مقیاس است: $k>1$ صعودی، $k=1$ ثابت، $k<1$ نزولی.

۴. کاربرد — چگونه به کار ببندیم

شکل صورت سؤال را بخوانید، آنگاه ابزار پیش از هر عملیات جبری تعیین شده است:

صورت سؤال شبیه این است…	ابزار
$\lim\bigl[f(x)-\alpha x-\beta\bigr]=0$ ، $\alpha,\beta$ را بیابید	این خودِ تعریف مجانب مایل است — تقسیم طولانی کنید و خارج قسمت را بخوانید
«به ازای کدام مقدار پارامتر، $f$ مشتق‌پذیر / پیوسته است؟»	آزمون نقطهٔ اتصال: نخست پیوستگی، سپس برابری مشتق‌های یک‌طرفه؛ هر شرطی که خودبه‌خود برقرار نیست، همان است که پارامتر را تعیین می‌کند
« $f$ در کدام بازه صعودی / نزولی است؟»	یک بار مشتق بگیرید، تجزیه کنید، عامل‌های مثبت را حذف کنید، نامساوی علامت را حل کنید و در هر بازه یک نقطهٔ آزمون بررسی کنید
«تقعر / نقطهٔ عطف / نقطهٔ بحرانی در نقطه‌ای از منحنی $F(x,y)=0$ »	مشتق‌گیری ضمنی؛ $y'\neq 0\Rightarrow$ بحرانی نیست، $y''\neq 0\Rightarrow$ عطف نیست، سپس علامت $y''$ تقعر را می‌دهد
«بزرگ‌ترین / کوچک‌ترین مقدار یک کمیت هندسی یا تجاری»	به یک متغیر تقلیل دهید، دامنهٔ مجاز را اعمال کنید، سپس نقاط بحرانی و نقاط انتهایی را مقایسه کنید
«کدام گزینه انتگرال … است؟»	اگر گزینه‌ها پادمشتق‌اند، از گزینه‌ها مشتق بگیرید — راستی‌آزمایی سریع‌تر و مطمئن‌تر از انتگرال‌گیری است
$x z_{x}+y z_{y}=?$	همگنی تابع درونی را بررسی کنید و به‌جای محاسبهٔ هر دو مشتق جزئی از اویلر استفاده کنید

۵. مثال کاربردی — یک مثال کوچکِ حل‌شده

(الف) یک بنگاه، هر چهار ابزار. بنگاهی با تقاضای معکوس $p(q)=60-2q$ و هزینهٔ کل $C(q)=q^{2}+12q+50$ روبه‌روست (درآمد و هزینهٔ کل به میلیون ریال، $q$ به هزار واحد و قیمت به میلیون ریال برای هر هزار واحد).

درآمد و سود.

R(q)=p(q)\,q=60q-2q^{2}, \qquad \pi(q)=R(q)-C(q)=-3q^{2}+48q-50

بهینه‌سازی. $\pi'(q)=-6q+48=0\Rightarrow q^{*}=8$ ، و $\pi''(q)=-6<0$ ، پس بیشینه است:

\pi(8)=-3(64)+48(8)-50=-192+384-50=142

مسیر نهایی (مارژینال) همین را تأیید می‌کند: $MR=R'(q)=60-4q$ و $MC=C'(q)=2q+12$ ، پس $MR=MC$ می‌دهد $60-4q=2q+12\Rightarrow 6q=48\Rightarrow q^{*}=8$ . ✓

انتگرال‌گیری. بازیابی کلّ از روی جدول نهایی:

\int_{0}^{8}MC(q)\,dq=\int_{0}^{8}(2q+12)\,dq=\Bigl[q^{2}+12q\Bigr]_{0}^{8}=64+96=160

این کل هزینهٔ متغیر است؛ با افزودن ثابت انتگرال‌گیری — یعنی هزینهٔ ثابت $50$ — به $C(8)=210$ می‌رسیم که با $C(8)=64+96+50=210$ می‌خواند. ✓ و $R(8)=(60-16)(8)=352$ ، پس $\pi=352-210=142$ . ✓

حدها و مجانب‌ها. هزینهٔ متوسط برابر است با $AC(q)=\dfrac{C(q)}{q}=q+12+\dfrac{50}{q}$ . چون $\dfrac{50}{q}\to 0$ ،

\lim_{q\to+\infty}\Bigl[AC(q)-(q+12)\Bigr]=0

پس $y=q+12$ مجانب مایل منحنی هزینهٔ متوسط است، و $q=0$ مجانب قائم است (هزینهٔ ثابت پخش‌شده روی هیچ). کمینه‌سازی $AC$ : $AC'(q)=1-\dfrac{50}{q^{2}}=0\Rightarrow q=\sqrt{50}\approx 7.07$ ، که در آن $AC=2\sqrt{50}+12=MC(\sqrt{50})$ — همان قاعدهٔ $AC=MC$ که عددی راستی‌آزمایی شد.

(ب) بررسی نقطهٔ اتصال. فرض کنید

f(x)=\begin{cases} ax+b & x<2\\ x^{2} & x\ge 2\end{cases}

پیوستگی در $x=2$ نیازمند $2a+b=4$ است؛ برابری شیب‌ها نیازمند $a=f'_{+}(2)=2(2)=4$ است، پس $b=4-8=-4$ . شاخهٔ خطی باید دقیقاً همان خط مماس $y=4x-4$ سهمی در نقطهٔ اتصال باشد — و معنای هندسی «مشتق‌پذیری در محل اتصال» همین است. توجه کنید که پیوستگی به‌تنهایی یک خانوادهٔ کامل $(a,\,4-2a)$ باقی می‌گذاشت؛ فقط شرط مشتق پارامتر را تثبیت کرد.

(ج) همگنی. برای $u=x^{3}y^{2}$ : داریم $u(tx,ty)=t^{5}u$ ، پس $k=5$ و $x u_{x}+y u_{y}=5u$ ؛ و برای $z=\ln u=3\ln x+2\ln y$ مستقیماً $x\cdot\frac{3}{x}+y\cdot\frac{2}{y}=5=k$ . ✓

۶. اشتباه نشود با…

جفت مفاهیم	مفهوم اول	مفهوم دوم	وجه تمایز
پیوستگی vs مشتق‌پذیری	پیوستگی: بدون پرش	مشتق‌پذیری: بدون کنج هم	مشتق‌پذیر $\Rightarrow$ پیوسته، هرگز برعکس ( $\lvert x\rvert$ در $0$ )
نقطهٔ بحرانی vs نقطهٔ اکسترمم	بحرانی: $f'=0$ یا تعریف‌نشده	اکسترمم: یک بیشینه/کمینهٔ واقعی	$f(x)=x^{3}$ در $0$ بحرانی است ولی هیچ‌کدام نیست — در اکسترمم داخلیِ مشتق‌پذیر، $f'=0$ شرط لازم است، نه کافی
نقطهٔ عطف vs نقطهٔ بحرانی	عطف: $f''$ تغییر علامت می‌دهد	بحرانی: $f'=0$	یکی دربارهٔ تقعر است و دیگری دربارهٔ شیب؛ یک نقطه می‌تواند هر دو، یکی، یا هیچ‌کدام باشد
صعودی بودن vs تقعر رو به بالا	صعودی: $f'>0$	تقعر رو به بالا: $f''>0$	تابع می‌تواند صعودی باشد ولی رو به پایین خم شود (بازده نزولی) — این دو علامت مستقل‌اند
اکسترمم نسبی vs مطلق	نسبی: بهترین در یک همسایگی	مطلق: بهترین در کل دامنه	روی بازهٔ بسته، اکسترمم مطلق ممکن است در یک نقطهٔ انتهایی باشد، جایی که $f'\neq 0$
مجانب افقی vs مایل	افقی: $\deg N\le\deg D$	مایل: $\deg N=\deg D+1$	نمی‌توانند در یک سمت هم‌زمان باشند؛ اگر $\deg N\ge\deg D+2$ هیچ مجانب خطی وجود ندارد
دامنه در برابر برد	ورودی‌های مجاز	خروجی‌های حاصل‌شده	خروجی درونی باید در دامنهٔ بیرونی باشد؛ انتهای دست‌نیافتنی در نگاشت بیرونی پیوسته و اکیداً یکنوا حذف می‌ماند
مساحت در برابر انتگرال علامت‌دار	انتگرال $\lvert f\rvert$	انتگرال $f$	در تغییر علامت بشکنید؛ تابع فرد می‌تواند انتگرال صفر و مساحت مثبت داشته باشد
انتگرال نامعین vs معین	نامعین: یک خانواده از توابع، $+c$	معین: یک عدد (انباشت خالص)	پاسخ انتگرال نامعین بدون $+c$ ناقص است؛ و $+c$ روی انتگرال معین غلط است
متوسط vs نهایی	متوسط $=C(q)/q$	نهایی $=C'(q)$	$MC$ دقیقاً در کمینهٔ $AC$ ، منحنی $AC$ را قطع می‌کند
مشتق جزئی vs مشتق کامل	جزئی: بقیهٔ متغیرها ثابت	کامل: همهٔ متغیرها آزادند تغییر کنند	$\dfrac{dz}{dt}=z_{x}\dfrac{dx}{dt}+z_{y}\dfrac{dy}{dt}$
قاعدهٔ هوپیتال vs قاعدهٔ خارج قسمت	لوپیتال: از صورت و مخرج جداگانه مشتق بگیر	قاعدهٔ خارج قسمت: $\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$	لوپیتال فقط برای $\tfrac00$ و $\tfrac{\infty}{\infty}$ مجاز است — پیش از استفاده، فرم را بررسی کنید

نکتهٔ کنکوری: با وجود نمرهٔ منفی، سریع‌ترین حرکت مطمئن تقریباً همیشه راستی‌آزمایی معکوس به‌جای محاسبهٔ مستقیم است. برای یک انتگرال، از چهار گزینه مشتق بگیرید و ببینید کدام‌یک انتگرال‌ده را بازتولید می‌کند. برای حدِ پارامتردار، یک مقدار بزرگ یا مرزی جایگذاری کنید و عددی بیازمایید. برای بازهٔ صعودی بودن، پس از شکستن بازه در همهٔ صفرها و نقاط تعریف‌نشدهٔ مشتق، $f'$ را در یک نقطهٔ آزمون داخلیِ هر بازهٔ حاصل حساب کنید — یک علامت، دو گزینه را هم‌زمان حذف می‌کند. و پیش از همهٔ این‌ها، هر عامل اکیداً مثبت ( $e^{g(x)}$ ، $x^{2}+1$ ، $\sqrt{\,\cdot\,}$ ) را از $f'$ حذف کنید: فقط در بازه‌هایی که عامل ناصفر است؛ صفرها و محدودیت‌های دامنهٔ آن را حفظ کنید. چنین عاملی در آنجا علامت را برنمی‌گرداند، و حمل کردنش همان کاری است که یک نامساوی علامتِ دوخطی را به یک اشتباه پنج‌دقیقه‌ای تبدیل می‌کند.

تلهٔ رایج: پیش از حسابان، محدودیت‌های دامنه را اشتراک بگیرید. انتهاهای باز را در تصویر یکنوای برد حفظ کنید. برای مساحت هندسی در تغییر علامت‌ها بازه را بشکنید و قدر مطلق را انتگرال بگیرید؛ خنثی‌شدن برای انباشت علامت‌دار است.

فرمول‌های کلیدی

Limit of a rational function at infinity (degree rule)

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n}x^{n}+\cdots}{b_{m}x^{m}+\cdots}=\begin{cases}0 & n<m\\ \dfrac{a_{n}}{b_{m}} & n=m\\ \pm\infty & n>m\end{cases}

Compare degrees before doing any algebra; also decides whether a horizontal asymptote exists.

Oblique (slant) asymptote

\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-(mx+b)\bigr]=0,\qquad m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\quad b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr)

For a rational function with deg N = deg D + 1 the asymptote is the quotient of the long division; the remainder fraction tends to 0.

Differentiability at a junction point

\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})\quad\text{and}\quad f'_{-}(x_{0})=f'_{+}(x_{0})

Both conditions must hold; whichever one is not automatic is the one that pins down a parameter.

Core differentiation rules

(uv)'=u'v+uv',\quad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},\quad \bigl(f(g)\bigr)'=f'(g)\,g',\quad \frac{d}{dx}b^{u}=b^{u}(\ln b)\,u',\quad \frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}

Product, quotient, chain, general exponential and logarithmic derivatives.

Implicit differentiation

F(x,y)=0\ \Longrightarrow\ y'=-\frac{F_{x}}{F_{y}}

For y'' differentiate the expression for y' again, then substitute x, y and y' at the point.

Sign tests for extrema and concavity

f'(x)>0\Rightarrow\text{increasing},\quad f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0\Rightarrow\text{local max},\quad f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0\Rightarrow\text{local min},\quad f''\ \text{sign change}\Rightarrow\text{inflection}

At differentiable interior extrema, the first derivative vanishes; that condition alone is insufficient. Concavity uses the sign of the second derivative; a change of concavity at a point on the graph identifies an inflection. A zero second derivative makes its extremum test inconclusive.

Marginal optimality conditions

\pi'(q)=MR-MC=0\ \Rightarrow\ MR=MC;\qquad \left(\frac{C(q)}{q}\right)'=0\ \Rightarrow\ MC=AC

Profit is maximal where marginal revenue equals marginal cost (with pi''<0); average cost is minimal where the marginal cost curve cuts it.

Substitution and integration by parts

\int f\bigl(g(x)\bigr)g'(x)\,dx=\int f(u)\,du,\qquad \int u\,dv=uv-\int v\,du,\qquad u=\sqrt{x}\Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\,du

Substitution is immediate when the inner derivative factor is present; otherwise transform all factors and the differential consistently. Integration by parts transfers differentiation to u.

Fundamental Theorem of Calculus

\int_{a}^{b}F'(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)

Integrating a marginal schedule returns the change in the total; the constant of integration is the fixed component.

Trigonometric identities used before integrating

1+\tan^{2}u=\sec^{2}u\ \Rightarrow\ \int\tan^{2}u\,du=\tan u-u+c

Use trigonometric identities when the basic antiderivative table does not immediately apply.

Euler's theorem for homogeneous functions

u(tx,ty)=t^{k}u(x,y)\ \Longrightarrow\ x\,\frac{\partial u}{\partial x}+y\,\frac{\partial u}{\partial y}=k\,u,\qquad z=\ln u\ \Longrightarrow\ x\,\frac{\partial z}{\partial x}+y\,\frac{\partial z}{\partial y}=k

Degree k is the returns to scale of a Cobb–Douglas function; for the log of a homogeneous function the operator returns the degree itself.

Composition domain and range

D_{g\circ f}=\{x\in D_f:f(x)\in D_g\},\quad \operatorname{Range}(g\circ f)=g(\operatorname{Range}(f)\cap D_g)

Fractional-part range

0\le x-\lfloor x\rfloor<1

Geometric area and signed integral

A=\int_a^b\lvert f(x)\rvert\,dx,\quad I=\int_a^bf(x)\,dx

Absolute-value slope between breakpoints

F(x)=\sum_i w_i\lvert a_ix+b_i\rvert,\quad F\prime(x)=\sum_i w_ia_i\operatorname{sgn}(a_ix+b_i)

Valid away from zeros of nonconstant affine terms; check both unbounded tails before selecting a minimum.

Hyperbolic sine and its inverse

\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2,\quad \operatorname{arsinh}y=\ln(y+\sqrt{1+y^2})

Hyperbolic sine is strictly increasing from the real line onto the real line; its inverse is not a reciprocal.

Even-power reduction and product recovery

a=\cos^2x,\quad b=\sin^2x,\quad a+b=1,\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b),\quad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\quad ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}

Replace even trigonometric powers with powers of the squared quantities; recover their product from their sum and difference.

#calculus#limits-asymptotes#derivatives#optimization#integration#partial-derivatives#marginal-analysis

کارت‌های مرتبط

الگوریتمریاضی و آمار

مشتق‌های جزئی، هسین و اکسترمم‌های چندمتغیره

با ثابت‌گرفتن دیگر ورودی‌ها مشتق بگیرید، نقاط ایستای گرادیان را بیابید، با هسین طبقه‌بندی کنید و کمینهٔ سراسری را با تکمیل مربع و تبدیل صعودی اثبات کنید.

partial-derivativesmixed-partialhessianstationary-points

الگوریتمریاضی و آمار

معادلات دیفرانسیل جدایی‌پذیر و شرایط اولیه

منحنی را از قانون شیب بازیابی کنید: متغیرها را جدا و انتگرال‌گیری کنید، ثابت را بیابید و شاخهٔ مجاز و جواب‌های تعادلی را نگه دارید.

separable-odeinitial-value-problemslope-lawlogarithmic-integration

قضیهریاضی و آمار

انتگرال‌های ناسره: حدود انتهایی و آزمون‌های مقایسه

هر انتهای نامتناهی یا تکین را جداگانه بررسی کنید؛ پیش از جست‌وجوی تابع اولیه، دنبالهٔ نامنفی را با معیارهای توانی و لگاریتمی مقایسه کنید.

improper-integralsendpoint-limitsp-integralscomparison-tests

سوالات تمرینی · 8/38

ریاضی و آمارآسانحد و پیوستگیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۴۳

اگر α و β دو عدد حقیقی و lim_(x→+∞)(frac x^2+1 x+1 -α x-β)=0 ، آنگاه مقدار αβ کدام است؟

ریاضی و آمارمتوسطحد و پیوستگیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۴۴

به ازای کدام مقدار a ، تابع f(x)= x^2+3x+1, x≥ 0 ; 2^ax, x<0 مشتق‌پذیر است؟

ریاضی و آمارمتوسطمشتق و کاربردهای آنکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۴۵

تابع f(x)=(x-1/2)e^(-x^2) در کدام بازه، اکیداً صعودی است؟

ریاضی و آمارمتوسطخط و هندسهٔ تحلیلیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۴۶

هر خط موازی با محور x دو خط x+4y=4 و 2x+5y=10 را به‌ترتیب در نقاط A و B قطع می‌کند. اگر پاره‌خط‌های AB در ربع اول صفحه مختصات واقع باشند، آنگاه اندازه بلندترین پاره‌خط AB کدام است؟

ریاضی و آمارمتوسطمشتق و کاربردهای آنکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۴۷

کدام مورد برای منحنی xy(x+y) = -2 ، در نقطه A(-1, -1) ، درست است؟

ریاضی و آمارمتوسطانتگرالکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۴۸

حاصل ∫ frac tan^2√x √x dx کدام است؟

ریاضی و آمارمتوسطحساب چندمتغیرهکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۵۰

اگر z=ln(x^2e^(-y/x)) ، آنگاه حاصل x(∂ z)/(∂ x)+y(∂ z)/(∂ y) کدام است؟

ریاضی و آمارآسانحد و پیوستگیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۴۳

دامنهٔ تابع f(x)=sqrt min x,۲x-۱ ، کدام است؟

همهٔ 38 سؤال →