سوال ۱۳۶ کنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵
محصول «الف» از مونتاژ ۲ قطعه A و ۳ قطعه B ساخته می‌شود. تولید این قطعات در سه‌بخش تولیدی ۱، ۲ و ۳ کارخانه انجام می‌شود که ظرفیت تولید روزانه هر بخش به‌صورت جدول زیر است. اگر هدف حداکثر کردن تولید محصول «الف» باشد، تابع هدف کدام است؟ (: تعداد روز تولید در بخش ام)
| قطعه \ بخش | ۱ | ۲ | ۳ |
|---|---|---|---|
| A | ۳ | ۶ | ۴ |
| B | ۶ | ۳ | ۹ |
پاسخ صحیح: گزینهٔ B —
پاسخ: گزینهٔ ۲ — .
مدل — یک صورت‌بندی برنامه‌ریزی خطی از نوع گلوگاه (کمینه‌بیشینه/بیشینه‌کمینه)
این پرسش از خانوادهٔ مدل‌سازی برنامه‌ریزی خطی (linear-programming formulation) و به‌طور مشخص از نوع گلوگاه مونتاژ است. متغیرهای تصمیم در صورت سؤال داده شده‌اند: = «تعداد روز تولید در بخش ام» (number of production days in shop )، .
دو واقعیت، تابع هدف را می‌سازند:
۱. هر بخش هر دو قطعه را با نرخ‌های روزانهٔ جدول تولید می‌کند، پس تعداد کل هر قطعه تابعی خطی از تعداد روزهای کار است. ۲. محصول نهایی «الف» یک مونتاژ (assembly) است: هر واحد آن ۲ واحد قطعهٔ A و ۳ واحد قطعهٔ B مصرف می‌کند. قطعاتی که نتوانند در یک ست کامل جفت شوند بی‌ارزش‌اند. بنابراین تعداد مونتاژها به کمیاب‌تر بودن یکی از دو مجموعه‌قطعه محدود می‌شود — یک گلوگاه کلاسیک که در برنامه‌ریزی خطی با یک درون تابع هدف نوشته می‌شود.
گام ۱ — کل قطعات تولیدشده
با خواندن جدول ستون‌به‌ستون (بخش ۱، ۲، ۳):
گام ۲ — تبدیل قطعات به محصول نهایی
چون هر واحد «الف» به قطعهٔ A و قطعهٔ B نیاز دارد، تعداد محصولی که تنها موجودی A و تنها موجودی B می‌تواند پشتیبانی کند برابر است با
گام ۳ — تعداد مونتاژ همان کمینه است و آن را بیشینه می‌کنیم
که دقیقاً گزینهٔ ۲ است. (در فرم استاندارد برنامه‌ریزی خطی، این رابطه به‌صورت با قیدهای و خطی‌سازی می‌شود — همان ترفند بیشینه‌کمینه (maximin) که ارزش به‌خاطر سپردن دارد.)
کالبدشکافی گزینه‌های نادرست
| گزینه | در واقع چه چیزی را مدل می‌کند | صورت سؤال باید چه می‌گفت |
|---|---|---|
| ۱) | تقسیم بر نسبت‌های مونتاژ درست انجام شده، اما جهت هدف وارونه است: کمینه کردنِ بزرگ‌ترِ دو کمیت یک مدل متعادل‌سازی بار / زمان تکمیل (makespan) است | اگر از ما کمینه کردن بیشینه خواسته می‌شد (مثلاً کمینه کردن طولانی‌ترین زمان تکمیل یا بزرگ‌ترین بار کاری)، نه بیشینه کردن تولید |
| ۳) | هم شمارش خام قطعات و هم هدف وارونه — هر دو خطا با هم | برای این مسئله هرگز |
| ۴) | ساختار بیشینه‌کمینه درست است، اما قطعات (parts) را می‌شمارد نه محصولات (products) — تقسیم بر و را فراموش کرده است | اگر هر واحد «الف» دقیقاً یک قطعهٔ A و یک قطعهٔ B می‌خواست (مونتاژ )، تقسیم‌ها حذف می‌شدند و این گزینه درست بود |
تلهٔ رایج: سطرهای جدول قطعه در روز هستند، نه محصول در روز. تقسیم سطر A بر و سطر B بر تمام محتوای این سؤال است؛ گزینهٔ ۴ دقیقاً برای دانشجویی ساخته شده که از این گام می‌گذرد. و توجه کنید که ترتیب ضرایب پس از تقسیم حفظ نمی‌شود — بخش ۲ بهترین تولیدکنندهٔ A است ( محصول در روز از ظرفیت A) اما بدترین تولیدکنندهٔ B ()، و دقیقاً به همین دلیل به نیاز است نه به جمع.
نکتهٔ کنکوری: «مونتاژ ... از قطعه A و قطعه B» تابع هدف و عملگر بیرونی هرگاه صورت سؤال بگوید «هدف حداکثر کردن تولید» برابر Max است. Max-of-Min یعنی تولید به‌اندازه‌ای که گلوگاه اجازه می‌دهد؛ Min-of-Max یعنی متعادل‌سازی بارها. نخست عملگر بیرونی را با هدف صورت سؤال تطبیق دهید — همین به‌تنهایی دو گزینه را حذف می‌کند.