سوال ۱۳۸ کنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۳ — محدودیت متعادل‌سازی بار کاری (workload-balancing constraint) برابر است با $\left|3x_1 - x_2\right| \le 60$.

مدل

این یک پرسش مدل‌سازی محدودیت (constraint formulation) در برنامه‌ریزی خطی (linear programming) است. صورت سؤال خودش متغیرهای تصمیم را برای ما تثبیت می‌کند:

زیرا می‌گوید «$x_j$: تعداد قطعه تولیدشده $j$ام در روز» — یعنی «$x_j$ تعداد واحدهای قطعهٔ $j$ام تولیدشده در روز است». پس اندیس $j$ روی قطعه‌ها حرکت می‌کند، نه روی ماشین‌ها.

هر ستون جدول یک ماشین است، بنابراین زمان کارکرد روزانهٔ هر ماشین (برحسب دقیقه) همان ستون است که با مقادیر قطعه‌ها وزن‌دهی شده است:

ترجمهٔ سیاست مسئله

«هیچ‌کدام از ماشین‌ها یک ساعت بیش از دیگری در روز کار نکند» — یعنی هیچ ماشینی نباید بیش از یک ساعت در روز بیشتر از دیگری کار کند. دو نکته در این جمله کدگذاری شده است:

۱. «هیچ‌کدام ... بیش از دیگری» — قید روی قدر مطلقِ اختلاف دو بار کاری است، یعنی $\left|T_1 - T_2\right|$، نه صرفاً روی $T_1 - T_2$ (وگرنه ماشین ۲ می‌توانست به‌طور دلخواه از ماشین ۱ جلو بزند). ۲. «بیش از یک ساعت نه» — یک کران بالا: $\le$. جدول برحسب دقیقه است، پس یک ساعت معادل $60$ دقیقه است.

بنابراین

جای‌گذاری

(قدر مطلق نسبت به تغییر علامت کلی بی‌تفاوت است، $|-u| = |u|$)، که دقیقاً همان گزینهٔ ۳ است.

در یک مسئلهٔ واقعی برنامه‌ریزی خطی، قدر مطلق خطی نیست؛ پس این تک‌محدودیت به‌صورت زوج زیر وارد مدل می‌شود:

گزینه‌های انحرافی از کجا می‌آیند

تلهٔ رایج: دو تلهٔ مستقل در این سؤال تلاقی می‌کنند. (الف) تلهٔ اندیس — عددهای $6$ و $8$ فقط وقتی ظاهر می‌شوند که هر ستون را جمع بزنید و آن را به یک متغیر تکی نسبت دهید؛ اما خط تعریف «$x_j$: تعداد قطعهٔ $j$ام» می‌گوید $j$ روی قطعه‌ها می‌شمارد، پس زمان هر ماشین باید هر دو متغیر را با ضرایب متفاوت ترکیب کند. (ب) تلهٔ جهت — «بیش از ... کار نکند» یک کران بالا یعنی $\le$ است؛ $\ge$ خواستار حداقل یک ساعت فاصله می‌شود، که سیاست وارونه است. تلهٔ سوم و ملایم‌تر واحد اندازه‌گیری است: جدول برحسب دقیقه است، پس «یک ساعت» به‌صورت $60$ وارد می‌شود، نه $1$.