سوال ۱۰۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

هر گزینه را با استفاده از تعریف کلی ماتریس معیّن مثبت بررسی می‌کنیم: ماتریس $A$ معیّن مثبت است اگر و تنها اگر برای هر $x \neq 0$ داشته باشیم $x^{T}Ax > 0$ (لازم نیست ماتریس متقارن باشد).

گزینهٔ ۲ — درست. برای هر ماتریس مربعی $A$ و هر بردار $x$، $x^{T}(A^{T}A)x = (Ax)^{T}(Ax) = \lVert Ax \rVert^{2} \ge 0,$ پس $A^{T}A$ همواره نیمه‌معیّن مثبت است.

گزینهٔ ۳ — درست. اگر $A$ معیّن مثبت باشد، آنگاه هر درایهٔ قطری در رابطهٔ زیر صدق می‌کند: $A_{ii} = e_{i}^{T} A\, e_{i} > 0,$ که در آن $e_i$ بردار پایهٔ استانداردِ $i$-اُم است. بنابراین هر درایهٔ قطری اکیداً مثبت است و $\operatorname{tr}(A) = \sum_{k=1}^{n} A_{kk} = \min_{i}\{A_{ii}\} + \underbrace{\sum_{k \neq \arg\min} A_{kk}}_{>\,0} > \min_{i}\{A_{ii}\},$ برای $n \ge 2$ (تنها حالتِ موردنظر). پس نامساوی اکید برقرار است.

گزینهٔ ۴ — درست. زاویهٔ $\theta$ میان $x$ و $Ax$ در رابطهٔ زیر صدق می‌کند: $\cos\theta = \frac{x^{T}(Ax)}{\lVert x\rVert\,\lVert Ax\rVert} = \frac{x^{T}Ax}{\lVert x\rVert\,\lVert Ax\rVert} > 0,$ زیرا به‌دلیل معیّن مثبت بودن، صورت کسر $x^{T}Ax > 0$ است. مثبت بودن کسینوس ایجاب می‌کند که $\theta < \dfrac{\pi}{2}$ باشد، یعنی زاویه حاده است.

گزینهٔ ۱ — نادرست (پاسخ). خاصیت تعریف‌کننده به ما $x^{T}Ax > 0$ را می‌دهد که مقادیر ویژه را اکیداً مثبت مشخص می‌کند — نه صرفاً نامنفی. «مقادیر ویژهٔ نامنفی» ($\lambda \ge 0$) دقیقاً خاصیت ماتریس نیمه‌معیّن مثبت است و به‌نادرستی مقدار $0$ را نیز می‌پذیرد، در حالی که ماتریس معیّن مثبت هرگز چنین مقداری ندارد.

افزون بر این، بدون فرض تقارن، یک ماتریس معیّن مثبت می‌تواند مقادیر ویژهٔ مختلط داشته باشد که برای آن‌ها «نامنفی بودن» حتی معنادار نیست. برای مثال، $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad x^{T}Ax = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 0,$ پس $A$ معیّن مثبت است، در حالی که مقادیر ویژه‌اش $\lambda = 1 \pm 2i$ هستند — که نه نامنفی‌اند و نه حتی حقیقی.

بنابراین گزارهٔ ۱ گزارهٔ نادرست است.

تلهٔ رایج: معیّن مثبت یعنی مقادیر ویژه اکیداً $>0$ هستند؛ نیمه‌معیّن مثبت یعنی مقادیر ویژه $\ge 0$ (نامنفی) هستند. جابه‌جا کردن این دو دقیقاً تلهٔ همین سؤال است.