سوال ۱۰۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

جواب دستگاه با ضرب در ماتریس وارون $C=A^{-1}$ به دست می‌آید: $X = A^{-1}b = Cb, \qquad x_i = \sum_{k=1}^{n} c_{ik}\,b_k.$

اختلال در سمت راست $b_j$ (گزینه‌های ۳ و ۴). از آنجا که $x_i=\sum_{k}c_{ik}b_k$ تنها از طریق جملهٔ $c_{ij}b_j$ به $b_j$ وابسته است، داریم $\frac{\partial x_i}{\partial b_j} = c_{ij}.$ بنابراین اختلال $b_j \to b_j+\delta$ منجر به $\Delta x_i \approx c_{ij}\,\delta$ می‌شود. این دقیقاً گزینهٔ ۴ است. گزینهٔ ۳ نادرست است: اندیس $i$ در سمت چپ آزاد است (مشخص می‌کند کدام مؤلفهٔ $X$ تغییر می‌کند)، پس جمع‌بستن $\sum_{i=1}^{n}c_{ij}$ روی $i$ در اینجا بی‌معناست.

اختلال در درایهٔ $a_{jk}$ (گزینه‌های ۱ و ۲). از رابطهٔ $AX=b$ با ثابت نگه‌داشتن $b$ دیفرانسیل می‌گیریم. از $A\,X=b$ داریم $dA\,X + A\,dX = 0 \;\Longrightarrow\; dX = -A^{-1}(dA)\,X = -C\,(dA)\,X.$ اختلالی به اندازهٔ $\delta$ در تک‌درایهٔ $a_{jk}$ یعنی $dA=\delta\,e_j e_k^{\top}$ (تنها موقعیت $(j,k)$ ناصفر است). آنگاه $(dA)\,X = \delta\,e_j (e_k^{\top}X) = \delta\,x_k\,e_j,$ پس $dX = -\delta\,x_k\,C e_j = -\delta\,x_k\,(\text{ستون } j \text{ از } C).$ با گرفتن مؤلفهٔ $i$‑ام، $\boxed{\;\Delta x_i \approx -c_{ij}\,x_k\,\delta\;}$ ضریب درست $-c_{ij}x_k\delta$ است. گزینهٔ ۱ دارای $-c_{ij}x_j\delta$ است (اندیس نادرست $x_j$ به جای $x_k$) و گزینهٔ ۲ دارای $-c_{jk}x_k\delta$ است (درایهٔ وارون نادرست $c_{jk}$ به جای $c_{ij}$). هر دو نادرست‌اند.

تنها گزینهٔ ۴ رابطه‌ای درست بیان می‌کند، پس همان پاسخ است.

نکتهٔ کنکوری: برای $X=Cb$، حساسیت نسبت به داده‌ها مستقیماً از روی ماتریس وارون خوانده می‌شود: $\partial x_i/\partial b_j = c_{ij}$، در حالی که اختلال در یک درایهٔ ماتریس یک عامل جوابِ اضافی به همراه دارد، $\partial x_i/\partial a_{jk} = -c_{ij}x_k$ (از رابطهٔ $\partial A^{-1} = -A^{-1}(\partial A)A^{-1}$). توجه کنید که روی اندیس آزاد $i$ هرگز جمع‌بندی نمی‌شود.