جبر خطی و مبانی ماتریس‌هاLinear Algebra
فضاهای برداری، نگاشت‌های خطی، ماتریس‌ها، دترمینان‌ها، مقادیر ویژه و صورت‌های کانونی.
کنکور ارشد ریاضی
مباحث
کارت‌ها · 5
مقادیر ویژهٔ ماتریس‌ها، عملگرها روی فضاهای متناهی‌البعد انتزاعی (از راه ماتریس در یک پایه) و عملگرها روی فضاهای تابعی؛ چندجمله‌ای مشخصه و ضرایب آن به‌صورت توابع متقارن؛ کیلی–همیلتون — اتحاد ۲×۲ و دستور کار کلی «وارون و توان‌ها به‌صورت چندجمله‌ای برحسب A» از روی طیف معلوم؛ چندجمله‌ای مینیمال (مقسوم‌علیه‌های چندجمله‌ای مشخصه، روابط پوچ‌ساز، ک.م.م روی بلوک‌های قطری، آزمون قطری‌شدنی بودن)؛ طیف حقیقی در برابر مختلط (دوران‌ها، عملگرهای پادمتقارن و ضرب خارجی)؛ قواعد تبدیل طیفی؛ آنچه تشابه حفظ می‌کند و چگونه بردارهای ویژه را منتقل می‌کند؛ ماتریس‌های جابه‌جاشونده، بردارهای ویژهٔ مشترک و قطری‌سازی هم‌زمان؛ و اینکه دقیقاً چه وقت یک ماتریس قطری‌شدنی است.
یک ماتریس مربعی دقیقاً زمانی وارون‌پذیر است که دترمینانش ناصفر باشد؛ دترمینان یک اسکالر چندخطی و متناوب است که تکینی، مقیاس‌بندی حجم و حل‌پذیری را در یک عدد بسته‌بندی می‌کند.
رتبه، بُعد مشترک فضای سطری و فضای ستونی است و هر پرسش مربوط به بُعد — یک پوشش (span)، یک دستگاه از معادلات تعریف‌کننده، حل‌پذیری، یا پوچی — به یک شمارش فرو می‌کاهد: dimspan=rank ، dim x:Ax=0 =n-rank ، که با C(A)^(⊥)=N(A^(⊤)) به هم دوخته می‌شوند.
اثر، مجموع درایه‌های قطری است — یک تابعک خطی و ناوردا نسبت به ترانهاده که در tr(AB)=tr(BA) صدق می‌کند، پس یک ناوردای تشابهی برابر با مجموع مقادیر ویژه است، همهٔ جابه‌جاگرها را صفر می‌کند و ضرب داخلی فروبنیوس ⟨ A,B⟩=tr(AB^T) را تعریف می‌کند.
یک نگاشت خطی با مقادیرش روی یک پایه تعیین می‌شود، در پایه‌های انتخابی با ماتریسی کدگذاری می‌شود که تنها تا تشابه تغییر می‌کند، و از راه قضیهٔ رتبه–پوچی به هسته و تصویرش گره می‌خورد — موتور محرک هر پرسش کنکوری دربارهٔ یک‌به‌یکی، رتبه، پوچ‌توانی و عملگرهای مربع–صفر.