سوال ۱۱۲ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱

قاعدهٔ حاکم

برای یک دستگاه خطی $Ax=b$ که با یک الگوریتم پایدار پسرو (حذف گاوسی با محورگیری جزئی) حل می‌شود، کران اختلال کلاسیک می‌گوید: اگر داده‌ها اختلالی نسبی به اندازهٔ $\varepsilon_{\text{data}}$ داشته باشند، $\frac{\|\delta A\|}{\|A\|}\le \varepsilon_{\text{data}},\qquad \frac{\|\delta b\|}{\|b\|}\le \varepsilon_{\text{data}},$ آنگاه جواب محاسبه‌شدهٔ $\bar{x}$ — که جواب دقیقِ دستگاهی مجاور به‌صورت $(A+\delta A)\bar{x}=b+\delta b$ است — در رابطهٔ زیر صدق می‌کند: $\frac{\|x-\bar{x}\|}{\|x\|}\;\lesssim\;\kappa(A)\,\varepsilon_{\text{data}},\qquad \kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|.$

با گرفتن $\log_{10}$، قاعدهٔ سرانگشتی مشهور به دست می‌آید:

$\boxed{\;\text{correct decimal digits in }\bar x\;\approx\;t-\log_{10}\kappa(A)\;}$

که در آن $t$ تعداد ارقام اعشاری درست در داده‌ها است (یا دقت ماشین، هرکدام که بدتر باشد).

به‌کارگیری قاعده

دو منبع خطا به دستگاه وارد می‌شوند:

منبع بزرگ‌تر غالب است، پس عدم قطعیت نسبی مؤثر در داده‌ها برابر است با $\varepsilon=\max\{10^{-16},\,10^{-8}\}=10^{-8}.$

با $\kappa(A)=10^{5}$ داریم: $\frac{\|x-\bar{x}\|}{\|x\|}\;\lesssim\;\kappa(A)\,\varepsilon = 10^{5}\cdot 10^{-8}=10^{-3}.$

خطای نسبی از مرتبهٔ $10^{-3}$ یعنی تقریباً ۳ رقم اعشاری بامعنای درست: $\text{digits}\;\approx\;-\log_{10}(10^{-3})=3,$ که هم‌ارز است با $t-\log_{10}\kappa(A)=8-5=3$.

پس پاسخ گزینهٔ ۴ است.

چرا گزینه‌های دیگر تله‌اند

• ۱۶ — طول کلمهٔ ماشین را به کار می‌برد و هم خطای داده‌ها و هم بدوضعی را فراموش می‌کند.
• ۸ — دقت داده‌ها را به کار می‌برد اما فراموش می‌کند که ماتریس بدوضع $A$ آن خطا را با ضریب $\kappa(A)=10^{5}$ تشدید می‌کند.
• ۱۱ — قاعده را با دقت ماشین به‌جای دقت داده‌ها اعمال می‌کند: $16-5=11$. این تنها در صورتی درست بود که $A$ و $b$ تا دقت کامل ماشین دقیق می‌بودند؛ اینجا داده‌ها فقط ۸ رقم دقت دارند و بدوضعی همان خطا را چند برابر می‌کند.

نکتهٔ کنکوری: $\log_{10}\kappa(A)$ دقیقاً «تعداد ارقام اعشاری‌ای است که از دست می‌دهید». همیشه آن را از بدترین دقت موجود در ورودی کم کنید — یعنی هرگاه داده‌ها درشت‌تر از اپسیلون ماشین باشند، از خطای داده‌ها، نه از اپسیلون ماشین. هیچ حل‌کنندهٔ پایدار پسرویی نمی‌تواند اطلاعاتی را بازیابی کند که اصلاً در داده‌ها وجود نداشته است.