مبانی آنالیز عددیNumerical Analysis
درون‌یابی، انتگرال‌گیری و مشتق‌گیری عددی، ریشه‌یابی و تحلیل خطا.
کنکور ارشد ریاضی
مباحث
کارت‌ها · 12
تفاضل تقسیم‌شدهٔ f[x_0,…,x_k] هم‌زمان یک درایهٔ بازگشتی جدول، ضریب پیشرو ∑_i f(x_i)/L_n'(x_i) یک درون‌یاب، یک نمونهٔ گسسته از f^((k))(ξ)/k! ، و جواب دستگاه پایین‌مثلثی نیوتن است — و روی گره‌های هم‌فاصله به Δ^kf_0/(k! h^k) فرو می‌کاهد.
هندسهٔ چندوجهی و قضیهٔ نمایش، مدل‌سازی شرط‌های انفصالی با شاخص‌های دودویی، جبر سیمپلکس/پایه به‌همراه فاز I و به‌روزرسانی با ماتریس اِتا، فرهنگ‌نامهٔ کامل دوگانی با جدول وضعیت اولیه–دوگان و گواهی‌هایش، مکمل‌های لَختی روی مسئلهٔ حمل‌ونقل، برنامه‌های خطی همگن (مخروطی) که مقدارشان تنها ۰ یا ±∞ است، لم فارکاش در فرم ستونی و سطری به‌علاوهٔ دستور ساختن هر قضیهٔ بدیل، و تحلیل حساسیت — از جمله چگونگی مهاجرت وضعیت هنگام افزودن یا حذف یک قید — یعنی جعبه‌ابزار کاملی که تعیین می‌کند بهینه‌های برنامه‌ریزی خطی کجا، آیا، به چه تعداد و با چه پایداری‌ای وجود دارند.
ماتریس A را با حذف گاوسی به صورت A=LU تجزیه کنید — این تجزیه بدون تعویض سطر موجود است اگر و تنها اگر کهادهای اصلی پیشرو Δ_1,…,Δ_(n-1) ناصفر باشند، و محور k -ام برابر Δ_k/Δ_(k-1) است؛ محورگزینی تنها برای کراندار کردن ضریب رشد به کار می‌رود، پس برای ماتریس متقارن معین مثبت A (که در آن هر محور برابر Δ_k/Δ_(k-1)=ℓ_kk^2>0 و ρ=1 است) تجزیهٔ چولسکی A=LL^(mathsf T) بدون محورگزینی به طور نامشروط پایدار است و تقریباً نصف هزینهٔ حذف گاوسی با محورگزینی را دارد.
قواعد کوادراتور نیوتن-کاتس همراه با جملات خطای دقیق آن‌ها، درجهٔ دقت، و نحوهٔ مقیاس‌بندی خطا با اندازهٔ گام h.
هر ماتریس حقیقی A بهصورت A=QR تجزیه می‌شود که در آن Q متعامد (اورتوگونال) و R بالامثلثی است؛ ساخت استاندارد و پایدار آن هر ستون را با ماتریس‌های هاوس‌هولدر H=I-2 vv^(⊤)/(v^(⊤)v) روی یک محور مختصات بازتاب می‌دهد، این ماتریس‌ها به‌طور ضمنی و به شکل به‌روزرسانی رتبه‌یک با کار O(n) ذخیره و اعمال می‌شوند، و در هر اتحادی که از A=QR ساخته شود، Q فقط از راه Q^(-1)=Q^(⊤) جابه‌جا می‌شود.
ضرب پیاپی در A یک بردار آغازین را به سمت بردار ویژهٔ مقدار ویژه با بزرگ‌ترین قدرمطلق سوق می‌دهد، که آنگاه با خارج‌قسمت رایلی یا نسبت مؤلفه‌ها خوانده می‌شود.
گرد کردن هر عدد حقیقی را روی شبکه‌ای می‌نشاند که فاصلهٔ محلی‌اش یک واحد در آخرین رقم است، عدد شرطی دقیقاً همان ضریبی است که مسئله با آن این خطای اجتناب‌ناپذیر داده را در پاسخ تقویت می‌کند، و الگوریتم پایدارِ پسرو تنها قول می‌دهد که مسئله‌ای مجاور را به‌طور دقیق حل کرده است.
کمینه‌ساز کمترین مربعات برای Ax-b _2 همواره وجود دارد (همان تصویر عمودی b بر R(A) است) و دقیقاً هنگامی یکتاست که ستون‌های ماتریس ضرایب مستقل خطی باشند؛ در این حالت جواب معادلات نرمال A^TAx=A^Tb است.
مرتبهٔ یک تکرار را نخستین مشتق ناصفرِ تابع تکرار در نقطهٔ ثابت تعیین می‌کند — و همین است که نیوتن را در ریشهٔ ساده درجه‌دو، در ریشهٔ مکرر تنها خطی، و تکرار سینوسی را صرفاً مماسی می‌سازد.
هر ماتریسی به شکل A=UΣ V^T با U,V متعامد و مقادیر منفردِ نامنفیِ نزولی تجزیه می‌شود، و از روی همین تجزیه رتبه، چهار زیرفضای بنیادی، lVert ArVert_2 ، κ_2(A) ، شبه‌وارون و بهترین تقریب با رتبهٔ پایین خوانده می‌شوند — اما این تجزیه نسبت به علامت مقادیر ویژه نابیناست.
هر روش تک‌گامی حل معادلهٔ دیفرانسیل، در واقع یک قاعدهٔ انتگرال‌گیری عددی برای انتگرال‌دهنده‌ای ناشناخته است: اویلر از شیب نقطهٔ چپ استفاده می‌کند، هون آن را با شیب در نقطهٔ راستِ پیش‌بینی‌شده با اویلر میانگین می‌گیرد (مرتبهٔ ۲)، RK4 چهار مرحله را به سبک سیمپسون وزن‌دهی می‌کند (مرتبهٔ ۴) و خطای سراسری همواره یک توان h پایین‌تر از خطای هر گام است.
مسیر کامل حل عددی f(x)=0 : مکان‌یابی ریشه‌ها با یکنوایی و قضیهٔ مقدار میانی، محصورسازی آن‌ها، و سپس تکرار با روش تنصیف ( p=1 )، نقطهٔ ثابت، نیوتن ( p=2 ، اما p=1 در ریشهٔ مکرر) یا روش وتری ( p=(1+sqrt5)/2 ) — همراه با فرض‌های دقیق، کران‌های خطا و تعداد گام‌هایی که هر یک به همراه دارد.