سوال ۱۴۲ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

یک فروشگاه شیرهای تولیدی سه شرکت $A$، $B$ و $C$ را عرضه می‌کند. مشتری‌های فروشگاه مطابق با یک زنجیره مارکوف با ماتریس احتمال انتقال زیر شیر مصرفی خود را تغییر می‌دهند. برای مثال احتمال آن‌که یک مشتری که شیر $B$ را خریداری کرده است، در نوبت بعد شیر $C$ را خریداری کند $\frac{۱}{۳}$ است. در درازمدت چه کسری از مشتری‌ها شیر $B$ را خریداری می‌کنند؟

$P=\begin{bmatrix} \frac{۳}{۴} & \frac{۱}{۴} & ۰ \\ ۰ & \frac{۲}{۳} & \frac{۱}{۳} \\ \frac{۱}{۴} & \frac{۱}{۴} & \frac{۱}{۲} \end{bmatrix}$