مبانی احتمال و آمارProbability & Statistics

مجموع و میانگین تعداد زیادی جملهٔ مستقل و هم‌توزیع به‌طور مجانبی نرمال‌اند؛ استانداردسازی کنید و جدول نرمال استاندارد را بخوانید.

توزیع‌های گسستهٔ استاندارد — یکنواخت، برنولی، دوجمله‌ای، پواسون، هندسی، دوجمله‌ای منفی، فوق هندسی — همراه با تابع جرم احتمال، تابع توزیع/دُم، میانگین، واریانس و توابع مولد آن‌ها، به‌علاوهٔ نشانه‌های تشخیص و اتحادهای ساختاری (متمم‌گیری، کانولوشن/واندرموند، رقیق‌سازی، تجزیهٔ دُم برای کمینه‌ها، شرطی‌سازی) که تقریباً هر سؤال کنکوری را حل می‌کنند.

خطی‌بودن، ضرب تحت استقلال، گشتاورها و اتحاد واریانس، فرمول دونقطه‌ای Var(X)=(mu-a)(b-mu)، نامساوی ینسن، کران‌های واریانس تحت قید گشتاوری، امیدهای بریده‌شده به همراه خانوادهٔ مارکوف / کوشی–شوارتز / پیلی–زیگموند، آمیخته‌ها از راه خاصیت برجی، توابع مولد برای E[s^N] و E[X^N]، و قوانین شرطی‌سازی E[E[X Y]]=E[X] و Var(X)=E[Var(X Y)]+Var(E[X Y]).

انتشار بردار سطری π_n=π_0P^n و شرطی‌کردن تنها بر پایهٔ تأخیر با چپمن–کولموگوروف، آمیختن یک شروع تصادفی با یک ستون از P (یک سری واقعی روی فضای حالت نامتناهی)، خواندن کلاس‌های ارتباطی از روی تکیه‌گاه P با بازگشتی‌بودن/تناوب به‌عنوان خواص کلاسی (بازگشتی ⇔ f_jj=1⇔∑_n p_jj^((n))=∞ ، و هر زنجیرهٔ متناهی دست‌کم یکی دارد)، احتمال‌های بازگشت گشت تصادفی، فرم بستهٔ دوحالتی p_ii^((n))=π_i+(1-π_i)(trP-1)^n ، جذب از راه ماتریس بنیادی، زنجیره‌های سه‌قطری زایش–مرگ که با توازن جزئی حل می‌شوند، میانگین‌های شاخه‌ای E[Z_n]=μ^n با قاعدهٔ گشتاور متقاطع E[Z_nmidF_m]=μ^(n-m)Z_m ، و توزیع ایستای π=π P به‌همراه حد ارگودیک آن.

خلاصه‌سازی داده‌ها بر حسب مرکز (میانگین خطای مربعی را کمینه می‌کند، میانه خطای قدرمطلق را)، پراکندگی (واریانس/انحراف معیار، دامنهٔ میان‌چارکی، ضریب تغییرات مقیاس‌ناپذیر) و شکل، همراه با دانستن اینکه هر آماره به چه مقیاس اندازه‌گیری‌ای نیاز دارد، میانگین‌ها چگونه به‌صورت میانگین وزنی با وزنِ اندازهٔ گروه ترکیب می‌شوند، و همه‌چیز تحت y=α x+β و استانداردسازی چگونه تبدیل می‌شود.

توزیع توأم یک بردار تصادفی همه‌چیز را دربارهٔ آن رمزگذاری می‌کند: نرمال‌سازی ثابتش را تعیین می‌کند، تکیه‌گاه دربارهٔ وابستگی تصمیم می‌گیرد، تجزیه‌پذیری چگالی (یا تابع مولد گشتاور توأم) استقلال را مشخص می‌سازد، شرط‌گذاری مقایسه‌ها و آمیخته‌ها را به مسائل یک‌بعدی بدل می‌کند، و دوخطی بودن کوواریانس — به‌همراه خطوط رگرسیون نرمال دومتغیره — هر پرسش همبستگی را فیصله می‌دهد.

مقادیر مرتب‌شدهٔ یک نمونهٔ مستقل و هم‌توزیع: تابع توزیع تجمعی بیشینه برابر [F(x)]^n است، تابع بقای کمینه برابر [1-F(x)]^n ، آمارهٔ k -اُم چگالی‌ای از نوع بتا دارد، و زوج کمینه–بیشینه چگالی توأم n(n-1)[F(v)-F(u)]^(n-2)f(u)f(v) دارد — که از آن قانون دامنه و تقارن بازتابی به دست می‌آید و برای هر جامعهٔ متقارن ایجاب می‌کند P(X_((1))+X_((n))≤ 2c)=tfrac12 ؛ تعویض‌پذیری نمونهٔ پیوستهٔ مستقل و هم‌توزیع باعث می‌شود احتمال کرانی‌بودن برای هر متغیر یکسان باشد، و پس از مقیاس‌بندی درست بر حسب n مقادیر کرانی به قوانین گامبل / فرشه / وایبول همگرا می‌شوند، مثلاً n(X_((1))-θ)toExp(f(θ^(+))) و X_((n))/n^(1/α)→Φ_α برای دنبالهٔ پارتویی.

یک فرایند پواسون با نرخ λ دارای N(t)simPoisson(λ t) و شمارش‌های مستقل روی بازه‌های جدا از هم است — پس احتمال‌های تهی‌بودن برابر e^(-λlvert Irvert) اند و شرط توأم «دست‌کم یک رخداد در هر پنجره» به‌سادگی ضرب می‌شود — در حالی که زمان‌های میان‌ورود آن مستقل و هم‌توزیع نمایی (λ) اند و به شرط دانستن یک شمارش، ورودها مانند آماره‌های ترتیبی یکنواخت پخش می‌شوند؛ در نتیجه زیرشمارش‌های شرطی به دوجمله‌ای، زمان‌های ورود شرطی به یکنواخت، و پیش‌بینی شمارش آینده به N(s)+λ(t-s) فرو می‌کاهند.

برای به‌دست‌آوردن توزیع، گشتاورها، چندک‌ها یا یک کران دنباله برای تابعی از متغیرهای تصادفی، از روش تابع توزیع تجمعی، فرمول‌های ژاکوبی یک‌بعدی و چندبعدی (با جمع روی شاخه‌ها و انتقال تکیه‌گاه)، قاعدهٔ مجموعه‌های تراز برای جزء صحیح و توابع مشخصه، LOTUS برای گشتاورهای خام و هم‌وردایی یکنوا برای چندک‌ها، و تبدیل انتگرال احتمال استفاده کنید؛ استانداردسازی یک نرمال، پیشامدهای درجه‌دو را به دنباله‌های کای‌دو بدل می‌کند، تابع مولد گشتاور همهٔ گشتاورها را رمزگذاری می‌کند و روی مجموع‌های مستقل تجزیه می‌شود، کوواریانس واریانس هر ترکیب خطی را تصحیح می‌کند، و مارکوف/چبیشف همان واریانس را به کران بالایی بدل می‌کنند که کنکور می‌خواهد.

در یک مدل یکنواخت متناهی هر احتمال نسبت دو شمارش است، پس تمام کار انتخاب یک فضای نمونهٔ سازگار (مرتب در برابر نامرتب، با جای‌گذاری در برابر بدون جای‌گذاری) و سپس بهره‌گیری از تقارن یا قاعدهٔ زنجیره‌ای ترتیبی است.

شرطی‌کردن، اندازه را محدود و بازبهنجار می‌کند: در فضای محدودشده می‌شمارد (نسبتی از شمارش‌ها، ک.م.م برای پیشامدهای بخش‌پذیری)، روی اجتماع قطعه‌های مجزا میانگین می‌گیرد — و هرگز جمع نمی‌کند —، شاخه‌های فوق‌هندسی یا برنولی را با قانون احتمال کل می‌آمیزد، با بیز وارون می‌کند، هرگاه استقلال با شمول برخورد کند به P(A)=0 یا P(C)=1 فرومی‌ریزد، و «یک موفقیتِ دیگر» را به نسبت گشتاوری E[Θ^(k+1)]/E[Θ^k] تبدیل می‌کند.

یک توزیع پیوسته کاملاً با تابع توزیع تجمعی‌اش تعیین می‌شود: اصول موضوعهٔ تابع توزیع به همراه ∫ f=1 هر ثابت مجهولی را مشخص می‌کنند، هر پیشامدی مانند g(X)>h(X) به اجتماعی از بازه‌ها فرو می‌کاهد که کافی است چگالی را روی آن انتگرال بگیرید، و به‌محض آنکه توزیع را یکنواخت یا نمایی تشخیص دهید، رابطهٔ حفظ‌شده (نسبت طول، تابع بقای e^(-λ t) ، میانهٔ ln 2/λ ، بی‌حافظگی) سؤال را در یک گام تمام می‌کند.

یک فضای احتمال (Ω,F,P) حامل یک اندازهٔ شمارا-جمعی روی یک σ -جبر از پیشامدهاست: جمع‌پذیری تنها برای پیشامدهای دوبه‌دو جدا از هم یک تساوی است، در حالی که پیوستگی P ، نامساوی بول و اصل شمول و طرد برای پیشامدهای دلخواه برقرارند.