سوال ۶۹ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۲

در شکل زیر میله $T$ شکل شامل یک میله بلند است که به یک سر میله کوتاهی به طول $\ell$ به‌طور عمودی جوش خورده است. سر دیگر میله کوتاه به مبدأ مختصات چنان لولا شده که کل میله $T$ با سرعت زاویه‌ای ثابت $\omega$ در صفحه‌ای موازی افق می‌چرخد. مهره‌ای به جرم $m$ می‌تواند روی میله بلند آزادانه حرکت کند و توسط یک فنر با ثابت فنر $k$ به محل جوش دو میله متصل است. فاصله مهره تا محل جوش $r$ است. از اصطکاک سطوح و جرم میله $T$ چشم‌پوشی شود. لاگرانژین مجموعه کدام است؟ (در شکل، میلهٔ کوتاه با محور ثابت و مثبت $x$ زاویهٔ $\theta$ دارد، مهره در سمت عمودِ پادساعت‌گردِ محل جوش قرار گرفته و جهت دوران نیز پادساعت‌گرد است.)