سوال ۶۸ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۲
دو مهرهٔ یکسان هر یک به جرم مقید به حرکت روی یک حلقهٔ افقی هستند. دو فنر یکسان سبک با ثابت فنر دو مهره را به یکدیگر وصل می‌کنند و مطابق شکل زیر به دور حلقه پیچیده شده‌اند. از اصطکاک میان سطوح چشم‌پوشی شود. فرکانس زاویه‌ای مدهای طبیعی این مجموعه کدام است؟ (در شکل، مهره‌ها در دو نقطهٔ مقابل حلقه قرار دارند و هر یک از دو فنر در امتداد یکی از نیم‌دایره‌های میان آن‌ها پیچیده شده است.)
پاسخ صحیح: گزینهٔ C —
استفاده از جابه‌جایی‌های مماسی
را جابه‌جایی‌های کوچک مهره‌ها برحسب طول کمان و در یک جهت مشترک روی حلقه می‌گیریم. تغییر طول دو فنر قرینه است: و . هر کشش برابر فنرها در تعادل، در نیروی مماسی خنثی می‌شود.
معادله‌های حرکت عبارت‌اند از:
جداسازی حرکت مشترک و نسبی
جمع معادله‌ها، دوران مشترک آزاد را می‌دهد؛ تفریق آن‌ها، نوسان فاصلهٔ نسبی را مشخص می‌کند:
این نتیجه گزینهٔ ۳ است. در مد صفر، مهره‌ها با هم حرکت می‌کنند و طول هیچ فنری تغییر نمی‌کند. در مد نسبی، مهره‌ها خلاف جهت هم حرکت می‌کنند و هر دو فنر نیروی بازگرداننده دارند. فرکانس‌ها بُعد معکوس زمان دارند و با صفر شدن ثابت فنر، صفر می‌شوند.
تلهٔ رایج: دو فنر بر مختصهٔ نسبی اثر می‌گذارند. شمردن فقط یک فنر، فرکانس غیرصفر گزینهٔ ۴ را می‌دهد. مجموعه‌ای که می‌تواند آزادانه به‌طور یکپارچه بچرخد، باید یک مد با فرکانس صفر نیز داشته باشد.