سوال ۳۱ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۱

مشتق‌گیری از مکان

سرعت برابر $v=dx/dt$ است. جملهٔ لگاریتمی حاصل‌ضرب دو عامل وابسته به زمان است؛ بنابراین باید از هر دو عامل مشتق گرفت. حقیقی بودن عبارت مستلزم $1-bt>0$ است.

در ساده‌سازی از $b(b^{-1}-t)=1-bt$ استفاده شده است. در نتیجه سهم ثابت با مشتق جملهٔ نخست خنثی می‌شود:

این نتیجه گزینهٔ ۲ است. برای بررسی، $v(0)=0$ به دست می‌آید. بسط مکان اولیه برای $bt$ کوچک می‌دهد $x=\tfrac12v_0bt^2+O(t^3)$ که با $v=v_0bt+O(t^2)$ سازگار است. چون $bt$ بی‌بعد است، نتیجه دارای بُعد سرعت است.

تلهٔ رایج: پارامتر $v_0$ ثابتی با بُعد سرعت است، اما در این مسئله سرعت اولیهٔ واقعی نیست. حذف هر یک از دو سهم قاعدهٔ مشتق حاصل‌ضرب، جمله‌ای ثابت یا وابسته به زمان را به‌اشتباه باقی می‌گذارد.