سینماتیک: حرکت یک‌بعدی و دوبعدی، پرتابه‌ها و حرکت نسبی

۱. ایدهٔ اصلی

سینماتیک هندسهٔ حرکت است: توصیف می‌کند که جسم چگونه حرکت می‌کند — کجاست، با چه سرعتی، و این کمیت‌ها چگونه تغییر می‌کنند — بدون آنکه به نیروهای مسبب حرکت اشاره کند. هر نظریهٔ دینامیکی (نیوتنی، لاگرانژی، نسبیتی) در نهایت یک شتاب به دست می‌دهد، و سینماتیک همان دستگاهی است که آن شتاب را به مسیر حرکت تبدیل می‌کند.

شیء بنیادی، بردار مکان $\vec{r}(t)$ است که در یک چارچوب مرجع انتخاب‌شده اندازه‌گیری می‌شود. از روی آن،

$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt},\qquad \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}.$

دو واقعیت، همهٔ آنچه در ادامه می‌آید را سامان می‌دهند:

• سینماتیک یک مسئلهٔ مقدار اولیه است. دانستن $\vec{a}(t)$ به همراه $\vec{r}(0)$ و $\vec{v}(0)$ حرکت را به‌طور یکتا تعیین می‌کند — دو بار انتگرال‌گیری و دو ثابت به ازای هر درجهٔ آزادی.
• مؤلفه‌های دکارتی از هم جدا می‌شوند. $\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$ یعنی سه مسئلهٔ یک‌بعدی مستقل که تنها با پارامتر مشترک $t$ به هم چسبیده‌اند. حرکت پرتابی چیزی نیست جز برهم‌نهی حرکت یکنواخت در راستای $x$ با سقوط آزاد در راستای $y$؛ حذف $t$ میان این دو، معادلهٔ مسیر را می‌دهد.

به‌دقت تفکیک کنید: تندی $|\vec{v}|$ در برابر بردار سرعت؛ سرعت متوسط $\Delta\vec{r}/\Delta t$ در برابر تندی متوسط $\Delta s/\Delta t$ (طول مسیر $s$، با $ds=|\vec{v}|\,dt$). این دو تنها برای حرکتی که هرگز جهتش را عوض نمی‌کند بر هم منطبق‌اند.

۲. فرمول‌ها و اتحادهای کلیدی

تعاریف و وارون‌های آن‌ها.

$v=\frac{dx}{dt},\quad a=\frac{dv}{dt}\qquad\Longleftrightarrow\qquad v(t)=v_{0}+\int_{0}^{t}a\,dt',\quad x(t)=x_{0}+\int_{0}^{t}v\,dt'.$

روی نمودارها: شیب نمودار $x$–$t$ برابر $v$ است، شیب نمودار $v$–$t$ برابر $a$؛ مساحت علامت‌دار زیر نمودار $v$–$t$ برابر $\Delta x$ و زیر نمودار $a$–$t$ برابر $\Delta v$ است.

شتاب ثابت (تنها هنگامی که $\vec{a}$ ثابت باشد):

$\vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{a}t,\qquad \vec{r}=\vec{r}_{0}+\vec{v}_{0}t+\tfrac{1}{2}\vec{a}t^{2},\qquad v^{2}=v_{0}^{2}+2\,\vec{a}\cdot\Delta\vec{r},\qquad \Delta\vec{r}=\tfrac{1}{2}(\vec{v}_{0}+\vec{v})\,t.$

اتحاد قاعدهٔ زنجیره‌ای — سودمندترین ابزار وقتی زمان در داده‌ها ظاهر نمی‌شود:

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\,\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{v^{2}}{2}\right).$

حرکتی که به‌صورت ضمنی با $t=t(x)$ داده شده است. مشتق‌گیری از $t(x)$ در امتداد حرکت رابطهٔ $dt/dx=1/v$ را می‌دهد، پس

$v=\left(\frac{dt}{dx}\right)^{-1},\qquad a=v\frac{dv}{dx}=-\,v^{3}\,\frac{d^{2}t}{dx^{2}}.$

بنابراین توصیف مبتنی بر تابع وارون هرگز لازم نیست وارون شود: یک بار مشتق‌گیری $v$ را می‌دهد و بار دوم مستقیماً $a$ را برحسب $v$.

حرکت پرتابی (شتاب ثابت $\vec{a}=-g\hat{y}$، پرتاب از مبدأ با تندی $v_{0}$ و زاویهٔ $\theta$):

$x=v_{0}\cos\theta\;t,\qquad y=v_{0}\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}gt^{2},$

$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}=x\tan\theta\left(1-\frac{x}{R}\right),$

$T=\frac{2v_{0}\sin\theta}{g},\qquad H=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g},\qquad R=\frac{v_{0}^{2}\sin 2\theta}{g}.$

صورت تجزیه‌شده ("بردی") صورت کاربردی مسئله است: دو ریشهٔ آن $x=0$ و $x=R$ نقاط پرتاب و فرود هستند، بنابراین هر داده‌ای دربارهٔ نقاط روی مسیر بی‌درنگ به رابطه‌ای میان $\tan\theta$ و $R$ ترجمه می‌شود.

حرکت منحنی‌الخط — تجزیهٔ ذاتی (مماسی/عمودی). با $\hat{T}$ در امتداد سرعت و $\hat{n}$ به‌سوی مرکز انحنا،

$\vec{a}=\frac{dv}{dt}\hat{T}+\frac{v^{2}}{\rho}\hat{n},\qquad \rho=\frac{v^{3}}{\left|\vec{v}\times\vec{a}\right|}=\frac{\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)^{3/2}}{\left|\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}\right|}.$

مؤلفهٔ مماسی تندی را تغییر می‌دهد و مؤلفهٔ عمودی جهت را؛ حرکت دایره‌ای یکنواخت حالت $dv/dt=0$، $\rho=r$، $a=v^{2}/r=\omega^{2}r$ است.

مختصات قطبی صفحه‌ای.

$\vec{v}=\dot{r}\,\hat{r}+r\dot{\theta}\,\hat{\theta},\qquad \vec{a}=\left(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\right)\hat{r}+\left(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}\right)\hat{\theta}.$

حرکت نسبی (گالیله‌ای). برای چارچوب‌هایی که نسبت به هم انتقال با سرعت $\vec{v}_{BA}$ دارند،

$\vec{v}_{PA}=\vec{v}_{PB}+\vec{v}_{BA},\qquad \vec{v}_{AB}=-\,\vec{v}_{BA},\qquad \vec{a}_{PA}=\vec{a}_{PB}\ \ (\text{constant }\vec{v}_{BA}).$

شتاب — و در نتیجه دینامیک نیوتنی — میان چارچوب‌های لخت ناوردا است؛ تنها سرعت‌ها و جابه‌جایی‌ها تبدیل می‌شوند.

۳. روش حل

1. نخست چارچوب و محورها را تثبیت کنید و قرارداد علامت را بیان کنید. در دو بعد محورهایی انتخاب کنید که شتاب یکی از مؤلفه‌ها صفر شود (افقی برای پرتابه‌ها، در امتداد سطح شیب‌دار برای پرتاب روی شیب).
2. داده‌ها را دسته‌بندی کنید. آیا شتاب به‌صورت $a(t)$، $a(x)$، $a(v)$ داده شده است، یا رابطه‌ای میان $x$ و $t$ آمده است؟ این موضوع مسیر انتگرال‌گیری را تعیین می‌کند:
   • $a(t)$: مستقیماً نسبت به $t$ انتگرال بگیرید؛
   • $a(x)$: از $v\,dv=a(x)\,dx$ استفاده کنید؛
   • $a(v)$: برای یافتن $v(t)$ از $dv/a(v)=dt$، و برای $v(x)$ از $v\,dv/a(v)=dx$ استفاده کنید؛
   • $t=t(x)$ یا هر رابطهٔ ضمنی $f(x,t)=0$: به‌جای حل کردن برای $x(t)$، از خودِ رابطه نسبت به $t$ مشتق بگیرید (قاعدهٔ زنجیره‌ای).
3. معادلات را مؤلفه‌به‌مؤلفه بنویسید و انتگرال بگیرید و شرایط اولیه را به‌عنوان ثابت‌ها همراه ببرید — هرگز آن‌ها را حذف نکنید تا بعداً دوباره وارد کنید.
4. پارامتر $t$ را حذف کنید هنگامی که پرسش دربارهٔ مسیر است (شکل مسیر، برد، شرایط هندسی) نه دربارهٔ زمان‌بندی.
5. شرایط هندسی داده‌شده در مسئله را اعمال کنید (گذشتن از یک نقطه، فرود روی شیب، بیشینهٔ ارتفاع، برخورد دو جسم). هر شرط یک معادله است؛ مجهول‌ها را بشمارید تا مطمئن شوید دستگاه بسته می‌شود.
6. ابعاد و حالت‌های حدی را بررسی کنید. هر پاسخ نامزد باید یکای درست داشته باشد و وقتی پارامتری به $0$ یا $\infty$ میل می‌کند به نتیجهٔ معقولی تحویل شود. در آزمون‌های چهارگزینه‌ای همین بررسی به‌تنهایی اغلب گزینهٔ درست را مشخص می‌کند.

۴. مثال کوتاه حل‌شده

ذره‌ای از $x=x_{0}>0$ آغاز می‌کند و روی محور $x$ با تندی متناسب با ریشهٔ دوم مختصاتش حرکت می‌کند، یعنی $v=k\sqrt{x}$ با $k>0$. شتاب و مکان آن را برحسب زمان بیابید.

زمان در داده‌ها ظاهر نمی‌شود، پس از اتحاد قاعدهٔ زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم:

$a=v\frac{dv}{dx}=k\sqrt{x}\cdot\frac{k}{2\sqrt{x}}=\frac{k^{2}}{2}.$

شتاب ثابت است، هرچند قانون سرعت غیرخطی به نظر می‌رسید — در واقع $v^{2}=k^{2}x$ دقیقاً همان رابطهٔ شتاب ثابت $v^{2}=v_{0}^{2}+2a(x-x_{0})$ با $a=k^{2}/2$ و $v_{0}^{2}=k^{2}x_{0}$ است.

برای وابستگی به زمان، در $dx/dt=k\sqrt{x}$ متغیرها را جدا می‌کنیم:

$\int_{x_{0}}^{x}\frac{dx'}{\sqrt{x'}}=k\int_{0}^{t}dt'\;\Rightarrow\;2\left(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}\right)=kt\;\Rightarrow\;x(t)=\left(\sqrt{x_{0}}+\frac{kt}{2}\right)^{2}.$

بسط دادن این عبارت رابطهٔ $x=x_{0}+k\sqrt{x_{0}}\,t+\tfrac{1}{4}k^{2}t^{2}$ را تأیید می‌کند، یعنی همان $x_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}at^{2}$. بررسی ابعادی: $[k]=\mathrm{m}^{1/2}\mathrm{s}^{-1}$، پس $[k^{2}/2]=\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. ✓

۵. گونه‌ها، حالت‌های خاص و حدها

• شتاب غیریکنواخت. با $a=-kv$ (پسای خطی) افت نمایی $v=v_{0}e^{-kt}$ و مسافت کل متناهی $v_{0}/k$ به دست می‌آید؛ با $a=-kv^{2}$، داریم $v=v_{0}/(1+kv_{0}t)$ و مسافت به‌صورت لگاریتمی واگرا می‌شود. هرگز فرمول‌های شتابِ ثابتِ $a$ را برای این حالت‌ها به کار نبرید.
• سقوط آزاد با پسا. مسیر تقارن خود را از دست می‌دهد: زمان فرود بیشتر از زمان صعود است، تندی برخورد کمتر از تندی پرتاب است، و $v\to v_{\text{ter}}=\sqrt{mg/b}$ (پسای درجه‌دو).
• دو زاویه، یک برد. $R(\theta)=R(90^{\circ}-\theta)$، پس زاویه‌های پرتاب مکمل برد یکسانی دارند؛ $R$ در $\theta=45^{\circ}$ بیشینه است (تنها روی زمین تراز).
• پرتاب روی سطح شیب‌دار با شیب $\alpha$: $R_{\text{incline}}=\dfrac{2v_{0}^{2}\cos\theta\,\sin(\theta-\alpha)}{g\cos^{2}\alpha}$، که در $\theta=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}$ بیشینه می‌شود — یعنی زاویه‌ای که نیم‌ساز میان سطح شیب‌دار و راستای قائم است.
• سهمی ایمنی (پوش). نقاطی که با تندی $v_{0}$ از مبدأ قابل دسترسی‌اند در $y\le\dfrac{v_{0}^{2}}{2g}-\dfrac{g\,x^{2}}{2v_{0}^{2}}$ صدق می‌کنند؛ مرز این ناحیه مکان هندسی هدف‌هایی است که دقیقاً با یک مسیر قابل اصابت‌اند.
• انحنای مسیر پرتابه. در نقطهٔ اوج $v=v_{0}\cos\theta$ و تمام $g$ عمود بر مسیر است، پس $\rho_{\text{apex}}=\dfrac{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}{g}$؛ در لحظهٔ پرتاب $\rho=\dfrac{v_{0}^{2}}{g\cos\theta}$.
• مسائل کلاسیک حرکت نسبی. عبور از رودخانه: حرکت مستقیم به سمت مقابل زمان را کمینه می‌کند ($t=d/v_{\text{boat}}$) اما رانش را نه؛ کمینه‌کردن رانش مستلزم سمت‌گیری به سمت بالادست با $\sin\phi=v_{\text{stream}}/v_{\text{boat}}$ است (تنها در صورتی ممکن است که $v_{\text{stream}}<v_{\text{boat}}$). دو جسم در $d_{\min}=\dfrac{\left|\vec{r}_{\text{rel}}\times\vec{v}_{\text{rel}}\right|}{\left|\vec{v}_{\text{rel}}\right|}$ به نزدیک‌ترین فاصله می‌رسند، که در $t=-\dfrac{\vec{r}_{\text{rel}}\cdot\vec{v}_{\text{rel}}}{\left|\vec{v}_{\text{rel}}\right|^{2}}$ رخ می‌دهد.
• چارچوب‌های دوّار. اگر چارچوب دوم بچرخد، $\vec{a}$ دیگر ناوردا نیست: $\vec{a}_{\text{inertial}}=\vec{a}_{\text{rot}}+2\vec{\omega}\times\vec{v}_{\text{rot}}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}$.
• حد نسبیتی. جمع گالیله‌ای $u'=u-v$ همان حد $v\ll c$ رابطهٔ $u'=\dfrac{u-v}{1-uv/c^{2}}$ است؛ سرعت‌ها هرگز از $c$ فراتر نمی‌روند و گزارهٔ «شتاب مستقل از چارچوب است» دیگر برقرار نیست.

۶. تلهٔ رایج

تلهٔ رایج: فرمول‌های شتاب ثابت $v=v_{0}+at$، $x=x_{0}+v_{0}t+\tfrac12at^{2}$، $v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x$ قضایایی دربارهٔ شتاب یکنواخت $a$ هستند، نه تعریف — به‌کار بردن آن‌ها برای حرکت‌های $a(t)$، $a(x)$ یا $a(v)$ رایج‌ترین خطا در کنکور است. وقتی زمان داده نشده، سراغ $a=v\,dv/dx$ بروید؛ وقتی داده‌ها $t$ را به‌صورت تابعی از $x$ (یا هر رابطهٔ ضمنی) می‌دهند، از خودِ رابطه به همان شکل مشتق بگیرید و به‌جای وارون‌کردن آن از $dt/dx=1/v$ استفاده کنید، که در یک خط $a=-v^{3}\,d^{2}t/dx^{2}$ را می‌دهد. و به یاد داشته باشید که بزرگ‌بودن تندی هیچ چیزی دربارهٔ شتاب نمی‌گوید: $a$ یک شیب است، نه یک مقدار.