آهنگ متوسط و لحظه‌ای تغییر: حسابان ۲، فصل ۴

ایده

آهنگ متوسط تغییر $f$ در بازهٔ $[a, b]$ تفاضل مقدارها تقسیم بر تفاضل متغیرهاست و با شیب خط قاطع برابر است. آهنگ لحظه‌ای تغییر در $x = a$ همان مشتق $f^{'} (a)$ است، یعنی شیب خط مماس. برای جرم و قد هم همین است: رشد «در یک بازه» یعنی متوسط و رشد «در یک لحظه» یعنی لحظه‌ای. اول ببین کدام را خواسته‌اند، بعد فقط همان را حساب کن.

آهنگ متوسط = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}, آهنگ لحظه‌ای = f^{'} (a)

f (x) = \frac{۱}{۲} x^{۲}

انتهای بازه را به ۱ نزدیک کن.

آهنگ متوسط در [۱، ۳] ۲آهنگ لحظه‌ای در ۱ ۱

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۲، سؤال ۱۳۱/۲۵ نمره

در تابعی با ضابطه $f (t) = \frac{۱۲۰}{t} + ۵$ مجموع آهنگ لحظه ای تغییر در لحظه $t = ۲$ و آهنگ متوسط تغییر تابع $f (t)$ در بازه $[۴, ۶]$ را بیابید.

آهنگ لحظه‌ای مشتق است؛ از $f (t) = \frac{۱۲۰}{t} + ۵$ مشتق بگیر.۰/۲۵ نمره
$f^{'} (t) = - \frac{۱۲۰}{t ^{۲}}$
مشتق را در $t = ۲$ حساب کن.۰/۲۵ نمره
$f^{'} (۲) = - \frac{۱۲۰}{۴} = - ۳۰$
آهنگ متوسط در $[۴, ۶]$ را با مقدارهای دو سر بازه بنویس.۰/۲۵ نمره
$\frac{f ( ۶ ) - f ( ۴ )}{۶ - ۴} = \frac{( \frac{۱۲۰}{۶} + ۵ ) - ( \frac{۱۲۰}{۴} + ۵ )}{۶ - ۴}$
عدد را به دست بیاور.۰/۲۵ نمره
$\frac{۲۵ - ۳۵}{۲} = - ۵$
سؤال مجموع دو آهنگ را خواسته است؛ آن‌ها را جمع کن.۰/۲۵ نمره
$- ۳۰ + (- ۵) = - ۳۵$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۵

۹ سؤال دیگر