مفهوم نقطهٔ عطف
نهایی: در ۶ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۲ نمره
ایده
نقطهٔ وقتی نقطهٔ عطف است که سه شرط با هم برقرار باشند: در پیوسته باشد، نمودار در آن نقطه خط مماس داشته باشد (مماس قائم هم قبول است) و جهت تقعر در دو طرف عوض شود. پس در نقطهٔ عطف در دو طرف علامت مخالف دارد و اگر موجود باشد، صفر است. صفر شدن کافی نیست: در نمونهٔ آن است. صعودی یا نزولی بودن هم به عطف ربطی ندارد: اکیداً صعودی است و در عطف دارد.
نمونهٔ نهایی
نهایی شهریور ۱۴۰۵، عصر، سؤال ۳۰/۲۵ نمره
در سوال زیر، گزینه مناسب را انتخاب کرده و شمارهٔ مربوط به آن را در پاسخ‌برگ بنویسید.
اگر طول نقطه عطف تابع باشد، آن‌گاه کدام گزینه همواره برقرار است؟
) تابع در مشتق‌پذیر است.
) ، طول نقطهٔ گوشه‌ای تابع است.
) و هر دو موجود و متناهی هستند.
) تابع در ، پیوسته است.
یک نمونهٔ آشنا از نقطهٔ عطف بگیر، در ، و گزینه‌ها را با آن بسنج.۰/۲۵ نمره
این تابع در مماس قائم دارد و تقعرش عوض می‌شود، پس طول نقطهٔ عطف است. ولی در مشتق‌پذیر نیست (گزینهٔ )، نقطهٔ گوشه‌ای نیست (گزینهٔ ) و مشتق‌های یک‌طرفه‌اش متناهی نیستند (گزینهٔ ). فقط گزینهٔ در تعریف نقطهٔ عطف آمده است: در پیوسته است.