مسئلهٔ بیشینه و کمینه

نهایی: در ۴ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۵/۵ نمرهکنکور: ۲ سؤال

ایده

کمیتی را که باید بیشترین یا کمترین شود (مساحت، حجم و مانند آن) بر حسب یک متغیر بنویس و دامنهٔ آن متغیر را از خود مسئله به دست آور. مشتق را صفر کن و ریشه‌ای را بگیر که در دامنه است. با مقدار تابع در دو سر دامنه یا با علامت مشتق معلوم کن که این ریشه بیشینه است یا کمینه.

نمونهٔ نهایی

نهایی دی ۱۴۰۳، سؤال ۱۶۱/۵ نمره

یک مستطیل در یک نیم دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره $۲$ سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.

رأس بالا راست مستطیل $(x, y)$ روی دایره‌ای به شعاع $۲$ است، پس $y$ را بر حسب $x$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$x^{۲} + y^{۲} = ۴ \Rightarrow y = ۴ - x^{۲}$
مساحت مستطیل را با طول $۲ x$ و عرض $y$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$S = ۲ x y \Rightarrow S (x) = ۲ x ۴ - x^{۲}$
از $S (x)$ مشتق بگیر، که حاصل‌ضرب دو تابع است.۰/۲۵ نمره
$S^{'} (x) = ۲ ۴ - x^{۲} + ۲ x \cdot \frac{- ۲ x}{۲ ۴ - x ^{۲}} = ۲ ۴ - x^{۲} - \frac{۲ x ^{۲}}{۴ - x ^{۲}}$
مخرج مشترک بگیر و صورت را برابر صفر قرار بده.۰/۲۵ نمره
$S^{'} (x) = \frac{۲ ( ۴ - x ^{۲} ) - ۲ x ^{۲}}{۴ - x ^{۲}} = \frac{۸ - ۴ x ^{۲}}{۴ - x ^{۲}} = ۰$
ریشهٔ مثبت را بگیر ( $۰ < x < ۲$ ) و طول مستطیل را از $۲ x$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$۸ - ۴ x^{۲} = ۰ \Rightarrow x = ۲ \Rightarrow ۲ x = ۲ ۲$
عرض مستطیل را از رابطهٔ $y$ حساب کن.۰/۲۵ نمره
$y = ۴ - ۲ = ۲$

مسئلهٔ بیشینه و کمینه

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۴

کنکور ۲