اثبات ویژگی‌های هم‌نهشتی

نهایی: در ۵ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۵/۲۵ نمره

ایده

اگر فرض $a \equiv m b$ است، آن را با تعریف به شکل $m ∣ a - b$ بنویس و حکم را هم به شکل بخش‌پذیری بخوان؛ بین این دو، $a - b$ را با تجزیه و ویژگی‌های بخش‌پذیری ادامه بده تا به حکم برسی. اگر حکم دربارهٔ ارقام یک عدد است، عدد را در مبنای ده بسط بده و از $۱۰ \equiv ۹ ۱$ استفاده کن.

نمونهٔ نهایی

نهایی دی ۱۴۰۳، سؤال ۴۱ نمره

اگر $m, n$ دو عدد طبیعی و $b, a$ دو عدد صحیح باشند و $a \equiv m b$ نشان دهید، $a^{n} \equiv m b^{n}$ .

فرض را با تعریف هم‌نهشتی به شکل بخش‌پذیری بنویس.۰/۲۵ نمره
$a \equiv m b \Rightarrow m ∣ a - b$
$a - b$ را در عامل دیگرِ اتحاد $a^{n} - b^{n}$ ضرب کن، چون مضرب عددی که بر $m$ بخش‌پذیر است باز هم بر $m$ بخش‌پذیر است.۰/۵ نمره
$m ∣ (a - b) (a^{n - ۱} + a^{n - ۲} b + \dots + b^{n - ۱})$
ضرب بالا همان $a^{n} - b^{n}$ است، پس به تعریف هم‌نهشتی برگرد.۰/۲۵ نمره
$m ∣ a^{n} - b^{n} \Rightarrow a^{n} \equiv m b^{n}$

اثبات ویژگی‌های هم‌نهشتی

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۵