حالت‌بندی با باقی‌مانده

نهایی: در ۵ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۵/۷۵ نمره

ایده

عدد صحیح $a$ را بر $m$ تقسیم کن؛ طبق قضیهٔ تقسیم، $a$ دقیقاً یکی از شکل‌های $mk, mk + ۱, \dots, mk + (m - ۱)$ را دارد. هر حالت را جدا بررسی کن: یا حکم درست است، یا (مثلاً برای عدد اول) از عبارت فاکتور می‌گیری و به تناقض می‌رسی. اگر همهٔ حالت‌ها به حکم یا تناقض برسند، حکم ثابت شده است.

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۵، صبح، سؤال ۶۱ نمره

ثابت کنید حاصل‌ضرب سه عدد صحیح متوالی، همواره بر $۳$ بخش‌پذیر است.

سه عدد متوالی را $n - ۱$ و $n$ و $n + ۱$ بگیر و $n$ را بر $۳$ تقسیم کن؛ سه حالت داریم.
$n = ۳ k, n = ۳ k + ۱, n = ۳ k + ۲$
اگر $n = ۳ k$ باشد، خودِ $n$ بر $۳$ بخش‌پذیر است.۰/۲۵ نمره
$n (n - ۱) (n + ۱) = ۳ k (۳ k - ۱) (۳ k + ۱) = ۳ q_{۱}$
اگر $n = ۳ k + ۱$ باشد، $n - ۱ = ۳ k$ مضرب $۳$ است.۰/۲۵ نمره
$n (n - ۱) (n + ۱) = (۳ k + ۱) \cdot ۳ k \cdot (۳ k + ۲) = ۳ q_{۲}$
اگر $n = ۳ k + ۲$ باشد، $n + ۱ = ۳ k + ۳$ مضرب $۳$ است.۰/۵ نمره
$n (n - ۱) (n + ۱) = (۳ k + ۲) (۳ k + ۱) \cdot ۳ (k + ۱) = ۳ q_{۳}$

حالت‌بندی با باقی‌مانده

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۶