شمارنده‌ها و تجزیه به عامل‌های اول

عدد را به عامل‌های اول تجزیه کن. اگر $x={\mathrm{۲}}^m\times {\mathrm{۵}}^n$، شمار شمارنده‌های مثبت $x$ برابر $(m+\mathrm{۱})(n+\mathrm{۱})$ است؛ تقسیم بر عدد دیگر توان عامل‌ها را کم می‌کند. توان عدد اول $p$ در $n!$ برابر است با

چون جملهٔ اول مضرب‌های $p$ را می‌شمارد، جملهٔ دوم مضرب‌های $p^{\mathrm{۲}}$ را که یک $p$ اضافه دارند، و همین‌طور ادامه. اگر کسری مثل $\frac{\mathrm{۷}}{x+\mathrm{۲}}$ باید صحیح باشد، $x+\mathrm{۲}$ شمارندهٔ صحیح $\mathrm{۷}$ است، مثبت یا منفی، و هر شمارنده یک جواب می‌دهد.