مربع عدد فرد و باقی‌مانده بر ۸

نهایی: در ۶ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۷/۲۵ نمره

ایده

عدد فرد را $a = ۲ k + ۱$ بنویس. $k (k + ۱)$ حاصل‌ضرب دو عدد صحیح متوالی و همیشه زوج است، پس

a^{۲} = ۴ k (k + ۱) + ۱ = ۸ q + ۱

یعنی مربع هر عدد فرد بر $۸$ باقی‌مانده $۱$ دارد. در عبارتی با چند مربع، هر مربع را $۸ q + ۱$ بگذار و باقی‌مانده را کامل کن. اگر فرد بودن عددی را نگفته‌اند، از فرض‌ها نتیجه‌اش بگیر؛ مثلاً شمارندهٔ هر عدد فرد، فرد است.

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۳، سؤال ۶۱/۵ نمره

اگر $a, b$ دو عدد صحیح و $ab$ فرد باشد، باقی مانده $a^{۲} + b^{۲} - ۵$ بر $۸$ را حساب کنید.

از فرد بودن $ab$ نتیجه می‌شود هر دو عدد فردند؛ آن‌ها را بنویس.۰/۲۵ نمره
$a = ۲ k + ۱, b = ۲ k^{'} + ۱$
مربع‌ها را بسط بده و در عبارت بگذار.۰/۵ نمره
$a^{۲} + b^{۲} - ۵ = ۴ k^{۲} + ۴ k + ۱ + ۴ k^{' ۲} + ۴ k^{'} + ۱ - ۵$
$k (k + ۱)$ و $k^{'} (k^{'} + ۱)$ حاصل‌ضرب دو عدد متوالی و زوج‌اند، پس $۴ k (k + ۱)$ و $۴ k^{'} (k^{'} + ۱)$ مضرب $۸$ هستند.۰/۵ نمره
$= ۴ k (k + ۱) + ۴ k^{'} (k^{'} + ۱) - ۳ = ۸ q + ۸ q^{'} - ۳$
$- ۳$ را به باقی‌مانده‌ای بین $۰$ و $۷$ برگردان.۰/۲۵ نمره
$۸ (q + q^{'}) - ۳ = ۸ (q + q^{'} - ۱) + ۵ \Rightarrow r = ۵$

مربع عدد فرد و باقی‌مانده بر ۸

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۶