عددی که دو عبارت را عاد می‌کند

نهایی: در ۱۵ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۱۷ نمرهکنکور: ۱ سؤال

ایده

اگر $a$ دو عبارت را عاد کند، مضرب‌های آن‌ها و مجموع یا تفاضلِ این مضرب‌ها را هم عاد می‌کند. هر عبارت را در ضریبِ $k$ در عبارت دیگر ضرب کن تا ضریب‌های $k$ برابر شوند و بعد تفریق کن: $k$ حذف می‌شود و $a$ یک عدد ثابت را عاد می‌کند. پس $a$ از شمارنده‌های همان عدد است؛ شرط‌هایی مثل $a > ۱$ یا طبیعی بودن را آخر کار اعمال کن. اگر مقسوم‌علیه $۲ a$ یا $۳ a$ بود، در پایان ضریب را از دو طرف ساده کن.

a ∣ ۹ k + ۴, a ∣ ۵ k + ۳ \Rightarrow a ∣ ۹ (۵ k + ۳) - ۵ (۹ k + ۴) = ۷

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۵، عصر، سؤال ۵۱/۵ نمره

اگر $a$ یک عدد طبیعی و $k$ عددی صحیح باشد و $a ∣ ۵ k + ۴$ و $a ∣ ۷ k + ۱$ ، آن‌گاه مقادیر $a$ را به‌دست آورید.

هر عبارت را در ضریبِ $k$ در عبارت دیگر ضرب کن تا ضریب‌های $k$ برابر شوند.۰/۵ نمره
$a ∣ ۵ k + ۴ a ∣ ۷ k + ۱ \Rightarrow a ∣ ۳۵ k + ۲۸ \Rightarrow a ∣ ۳۵ k + ۵$
دو عبارت را از هم کم کن تا $k$ حذف شود؛ $a$ عدد ثابتِ حاصل را می‌شمارد.۰/۵ نمره
$a ∣ (۳۵ k + ۲۸) - (۳۵ k + ۵) \Rightarrow a ∣ ۲۳$
چون $a$ طبیعی است و $۲۳$ اول است، شمارنده‌های طبیعی $۲۳$ را بنویس.۰/۵ نمره
$a \in {۱, ۲۳}$

عددی که دو عبارت را عاد می‌کند

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۵

کنکور ۱