اثبات با در نظر گرفتن همهٔ حالت‌ها

نهایی: در ۵ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۴/۷۵ نمره

ایده

اگر حکم باید برای همهٔ حالت‌های ممکن ثابت شود، حالت‌ها را جدا کن و هر کدام را تا حکم ادامه بده؛ حالت‌ها باید همهٔ امکان‌ها را بپوشانند، مثل زوج یا فرد، یا $a = ۰$ و $a \neq = ۰$ . هر عدد صحیح یا زوج است ( $۲ k$ ) یا فرد ( $۲ k + ۱$ )؛ اگر مسئله فقط یکی را داده، همان یکی کافی است.

n = ۲ k \Rightarrow n^{۲} - ۵ n + ۷ = ۲ (۲ k^{۲} - ۵ k + ۳) + ۱

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۴، سؤال ۳۱/۵ نمره

ثابت کنید برای هر عدد طبیعی $n$ ، عبارت $n^{۲} - ۹ n + ۱$ همواره عددی فرد است.

حالت اول: $n$ زوج است، پس آن را $۲ k$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$n = ۲ k$
در عبارت جایگذاری کن و آن را به شکل $۲ t + ۱$ دربیاور.۰/۵ نمره
$n^{۲} - ۹ n + ۱ = (۲ k)^{۲} - ۹ (۲ k) + ۱ = ۲ (۲ k^{۲} - ۹ k) + ۱ = ۲ t + ۱$
حالت دوم: $n$ فرد است، پس آن را $۲ k + ۱$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$n = ۲ k + ۱$
دوباره جایگذاری کن و به شکل $۲ q + ۱$ برسان.۰/۵ نمره
$n^{۲} - ۹ n + ۱ = (۲ k + ۱)^{۲} - ۹ (۲ k + ۱) + ۱ = ۲ (۲ k^{۲} - ۷ k - ۴) + ۱ = ۲ q + ۱$
نتیجه بگیر که در هر دو حالت عبارت فرد است، پس برای هر عدد طبیعی $n$ فرد است.

اثبات با در نظر گرفتن همهٔ حالت‌ها

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۵