برهان خلف

نهایی: در ۹ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۸/۲۵ نمره

ایده

در برهان خلف فرض می‌کنی حکم نادرست است، با گام‌های درست به چیزی می‌رسی که با فرض مسئله یا با یک واقعیتِ قطعی نمی‌سازد، و نتیجه می‌گیری فرض خلف باطل و حکم درست است. برای «گنگ است» فرض کن عدد گویا باشد و از این استفاده کن که جمع، تفاضل، ضرب و معکوسِ ناصفرِ عددهای گویا گویاست.

r \in Q, x \in / Q : r + x \in Q \Rightarrow (r + x) - r = x \in Q

نمونهٔ نهایی

نهایی دی ۱۴۰۴، سؤال ۳۰/۷۵ نمره

با برهان خلف ثابت کنید اگر $α$ و $β$ دو عدد گنگ و $β - ۲ α$ عددی گویا باشد، آنگاه $۳ α - β$ عددی گنگ است.

فرض خلف را بنویس: $۳ α - β$ را گویا فرض کن.۰/۲۵ نمره
$۳ α - β \in Q$
$۳ α - β$ را با $β - ۲ α$ که طبق فرض گویاست جمع کن؛ جمع دو عدد گویا گویاست و $α$ پیدا می‌شود.۰/۲۵ نمره
$(۳ α - β) + (β - ۲ α) = α \in Q$
نتیجه بگیر که این با گنگ بودن $α$ تناقض دارد، پس فرض خلف باطل و حکم ثابت است.۰/۲۵ نمره

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۰

۴ سؤال دیگر