اثبات بازگشتی: میانگین‌ها و کسرها

نهایی: در ۵ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۵/۵ نمره

ایده

در اثبات بازگشتی از خودِ حکم شروع می‌کنی و آن را با مرحله‌های هم‌ارز ( $\Leftrightarrow$ ) ساده می‌کنی تا به گزاره‌ای همیشه درست برسی؛ چون هر مرحله برگشت‌پذیر است، حکم هم درست است. وقتی کسر یا رادیکال داری، شرط علامت مسئله ( $a > ۰$ یا نامنفی بودن) را به کار ببر: طرفین را در عددی مثبت ضرب کن و رادیکال را فقط برای عدد نامنفی بنویس.

a + \frac{۱}{a} \geq ۲ \Leftrightarrow a^{۲} + ۱ \geq ۲ a \Leftrightarrow (a - ۱)^{۲} \geq ۰

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۳، سؤال ۴۱/۲۵ نمره

ثابت کنید میانگین حسابی دو عدد نامنفی از میانگین هندسی آنها کمتر نیست.

طرفین را در $۲$ ضرب کن تا کسر برود.۰/۲۵ نمره
$\frac{a + b}{۲} \geq ab \Leftrightarrow a + b \geq ۲ ab$
همهٔ جمله‌ها را به یک طرف ببر.۰/۲۵ نمره
$\Leftrightarrow a + b - ۲ ab \geq ۰$
چون $a, b \geq ۰$ است، $a = (a)^{۲}$ و $b = (b)^{۲}$ را بنویس و مربع کامل بساز.۰/۵ نمره
$\Leftrightarrow (a - b)^{۲} \geq ۰$
نتیجه بگیر که نابرابری آخر همیشه درست است و چون مرحله‌ها برگشت‌پذیرند، حکم ثابت می‌شود.۰/۲۵ نمره

اثبات بازگشتی: میانگین‌ها و کسرها

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۵